Площадь фигур и периметр прямоугольника — одна из ключевых тем курса геометрии 7 класса. Ее важно понять не только для решения учебных задач, но и для реальной жизни: посчитать, сколько нужно краски для стены, сколько плитки купить на пол, какой длины понадобится забор. В этом объяснении мы разберем основные понятия, выведем формулы, научимся пошагово решать типовые задачи, разберем типичные ошибки и применим знания в практических ситуациях.

Начнем с понятий. Периметр фигуры — это сумма длин всех ее сторон, то есть «общая длина границы». Для прямоугольника у нас четыре стороны: две пары равных сторон. Если одну сторону обозначить буквой a, а соседнюю — b, то противоположные им стороны также равны им соответственно. Поэтому периметр прямоугольника равен сумме всех четырех сторон. Площадь фигуры — это число, показывающее, сколько единичных квадратов помещается внутри фигуры без наложений и пробелов. Для прямоугольника площадь равна произведению длины на ширину. Здесь важно понимать: периметр измеряется в единицах длины (сантиметры, метры), а площадь — в квадратных единицах (квадратные сантиметры, квадратные метры).

Выведем формулы. Формула периметра прямоугольника выглядит так: P = 2(a + b). Почему? У прямоугольника две стороны длиной a и две стороны длиной b. Складываем их: a + b + a + b = 2a + 2b = 2(a + b). Формула площади прямоугольника S = a · b возникает из представления площади как количества единичных квадратов: вдоль одной стороны помещается a единичных отрезков, вдоль другой — b, всего получаем a рядов по b квадратов, то есть a · b квадратов. Если размеры даны не в целых единицах, смысл сохраняется: площадь равна произведению длины на ширину.

Единицы измерения — важная тема, где часто допускаются ошибки. Периметр измеряем в миллиметрах (мм), сантиметрах (см), дециметрах (дм), метрах (м), километрах (км). Площадь измеряем в квадратных единицах: мм², см², дм², м², км². Запомните преобразования: 1 м = 100 см, а вот 1 м² = 10 000 см² (потому что по каждой стороне 100, а площадь растет в 100 · 100 раз). Аналогично: 1 дм² = 100 см², 1 м² = 100 дм². Частая прикладная единица — гектар: 1 га = 10 000 м². В задачах всегда приводите все величины к одним единицам перед вычислением и аккуратно подписывайте ответ с правильными единицами.

Рассмотрим пошаговый алгоритм, как найти периметр прямоугольника и как найти его площадь.

1. Прочитать условие, выписать известные размеры: a и b.
2. Проверить единицы измерения, при необходимости перевести к одной системе.
3. Периметр: сложить длину и ширину и умножить на 2: P = 2(a + b).
4. Площадь: перемножить длину и ширину: S = a · b.
5. Записать ответ с единицами: для периметра — линейные, для площади — квадратные.

Пример 1. Дан прямоугольник со сторонами a = 8 см и b = 5 см. Найти периметр и площадь. Решение: P = 2(8 + 5) = 2 · 13 = 26 см. S = 8 · 5 = 40 см². Ответ: периметр 26 см, площадь 40 см².

Иногда размеры даны в разных единицах. Пример 2. Длина комнаты 2,5 м, ширина 80 см. Сначала переведем в метры: 80 см = 0,8 м. Тогда P = 2(2,5 + 0,8) = 2 · 3,3 = 6,6 м. Площадь S = 2,5 · 0,8 = 2,0 м². Если удобнее переводить в сантиметры: 2,5 м = 250 см; P = 2(250 + 80) = 660 см; S = 250 · 80 = 20 000 см², что совпадает с 2,0 м² (ведь 1 м² = 10 000 см²).

Часто встречаются обратные задачи. Разберем три типичных случая с пошаговыми инструкциями.

• Дан периметр и одна сторона, найти другую сторону. Формула периметра: P = 2(a + b). Тогда a + b = P/2, значит b = P/2 − a. Пример: P = 30 см, a = 8 см. Находим b: b = 30/2 − 8 = 15 − 8 = 7 см. Площадь S = 8 · 7 = 56 см².
• Дана площадь и одна сторона, найти другую сторону. Формула площади: S = a · b. Тогда b = S/a. Пример: S = 72 см², a = 9 см. Находим b: b = 72/9 = 8 см. Периметр P = 2(9 + 8) = 34 см.
• Дан периметр, найти стороны при условии, что прямоугольник — квадрат. Если сказано, что стороны равны (квадрат), то P = 4a, отсюда a = P/4. Пример: P = 28 см, значит a = 7 см; площадь S = 7 · 7 = 49 см².

Полезно понимать свойства изменения размеров. Если обе стороны прямоугольника увеличить в k раз, то периметр увеличится в k раз (ведь все стороны умножатся на k), а площадь увеличится в k² раз (так как S = a · b, и каждое из a и b увеличится в k раз). Это объясняет, почему небольшая прибавка размеров может сильно увеличить площадь. Интересный факт: среди всех прямоугольников с фиксированным периметром наибольшую площадь имеет квадрат; среди всех прямоугольников с фиксированной площадью наименьший периметр имеет квадрат. Это можно почувствовать на численных примерах: возьмем P = 40 см. Если a = 10, b = 10 (квадрат), то S = 100 см². Если a = 14, b = 6, то S = 84 см²; если a = 18, b = 2, то S = 36 см² — площадь падает.

Рассмотрим задачи на составные фигуры, когда фигура состоит из нескольких прямоугольников или из прямоугольника с «вырезом». Алгоритм такой:

1. Разбить фигуру на несколько не перекрывающихся прямоугольников простым разрезом по сетке или по линиям параллельно сторонам.
2. Найти площади каждого прямоугольника по формуле S = a · b.
3. Сложить площади для объединения или вычесть площадь «вырезанного» прямоугольника для отверстия.
4. С периметром сложнее: он равен длине внешней границы. Если есть внутренние «стыки», они не входят в периметр. Нельзя просто сложить периметры частей, если они прилегают друг к другу.

Пример 3. L-образная фигура получена из прямоугольника 10 см × 7 см, у которого в правом верхнем углу вырезан прямоугольник 4 см × 3 см. Площадь: S = 10 · 7 − 4 · 3 = 70 − 12 = 58 см². Периметр: проследим внешнюю границу. Идем по контуру: 10 + 7 + 4 + 3 + 6 + 3 + 4 + 7 = 44 см (здесь важно аккуратно разметить все отрезки; иногда полезно сделать набросок с длинами).

Еще один инструмент — координатная сетка. Если вершины прямоугольника имеют координаты и его стороны параллельны осям, то длина стороны равна разности координат по соответствующей оси. Пример 4. Вершины: (1; 2), (1; 5), (6; 2), (6; 5). Длина по оси x: 6 − 1 = 5, по оси y: 5 − 2 = 3. Тогда P = 2(5 + 3) = 16, S = 5 · 3 = 15. В задачах на клетчатой бумаге площадь можно оценить счетом целых клеток и половинок, но для прямоугольника лучше просто умножить число клеток по горизонтали на число клеток по вертикали.

Как применить знания к реальным задачам. Вы часто встретите формулировки «сколько нужно материала» или «сколько метров чего-то требуется». Несколько типичных сюжетов:

• Покрытие пола: нужно найти площадь комнаты, чтобы определить количество плитки, ламината, ковролина. Используем S = a · b, добавляем запас 5–10% на подрезку.
• Окраска стены: площадь под покраску — это площадь прямоугольника стены минус площади окон и дверей (вырезы). Периметр тут не нужен, если не считается длина плинтуса или багета.
• Забор или окантовка: требуется периметр участка прямоугольной формы. Берем P = 2(a + b) и добавляем запас на стыки и ворота.
• Стоимость: если цена указана «за квадратный метр», то стоимость = цена × площадь. Если «за погонный метр», то стоимость = цена × периметр.

Обратите внимание на типичные ошибки и способы их избежать:

• Путаница единиц: переводите все величины в одну систему до вычислений. Помните: 1 м ≠ 1 м²; 1 м² = 10 000 см².
• Смешение понятий: периметр — это «вокруг», площадь — это «внутри». В задачах на покрытие считают площадь, в задачах на ограждение — периметр.
• Неправильная формула: периметр прямоугольника — не a + b и не 4a (это только для квадрата), а 2(a + b).
• Ошибки при составных фигурах: внутренние границы не входят в периметр; площади «вырезов» нужно вычитать.
• Раннее округление: при вычислениях с десятичными дробями сначала считайте точно, округляйте в самом конце до требуемой точности.
• Неверное применение диагонали: если известна диагональ и одна сторона, вторую иногда находят по теореме Пифагора (для прямоугольника диагональ, сторона и другая сторона образуют прямоугольный треугольник), но используйте это только если тема уже изучена и размеры совместимы по единицам.

Систематизируем решение задач — общий алгоритм для прямоугольника:

1. Нарисовать схему с обозначениями сторон, подписать известные данные и искомые величины.
2. Привести все измерения к одним единицам.
3. Определить, что нужно: периметр, площадь, одну из сторон, или обе.
4. Выбрать формулы: P = 2(a + b); S = a · b; b = P/2 − a; b = S/a.
5. Выполнить вычисления аккуратно и обосновать каждый шаг словами или ссылкой на формулу.
6. Записать ответ с единицами и, если требуется, выполнить округление.

Разберем еще несколько задач для закрепления.

• Пример 5. Периметр прямоугольника 54 см, одна сторона 16 см. Найти другую сторону и площадь. Решение: a + b = 54/2 = 27, значит b = 27 − 16 = 11 см. Площадь S = 16 · 11 = 176 см².
• Пример 6. Площадь участка 120 м², одна сторона 15 м. Найти периметр. Решение: b = 120/15 = 8 м; P = 2(15 + 8) = 46 м.
• Пример 7. Комната 4,2 м × 3,6 м. Сколько рулонов обоев шириной 0,53 м и длиной 10 м нужно, если высота 2,7 м? Сначала периметр стен без дверей и окон: P = 2(4,2 + 3,6) = 15,6 м. Число полос: 15,6 / 0,53 ≈ 29,43, округляем вверх: 30 полос. Из одного рулона длиной 10 м при высоте 2,7 м получаем 3 полосы (10 / 2,7 ≈ 3 с запасом на подгон рисунка). Нужное количество рулонов: 30 / 3 = 10 рулонов. Здесь мы использовали и периметр (для боковой длины полос), и деление с округлением вверх.

Когда данные представлены в процентах или масштабах, пользуйтесь свойством масштабирования. Пример 8. Размеры прямоугольника увеличили на 20%. Тогда каждая сторона стала равна 1,2 исходной, периметр умножился на 1,2, а площадь — на 1,2² = 1,44. Значит, новая площадь на 44% больше исходной. Это часто встречается в задачах на изменение размеров фотографий, планов, экранов.

Если прямоугольник задан через отношения сторон, действуем так: пусть a : b = m : n и известна площадь S. Тогда a = k·m, b = k·n, где k — общий коэффициент. Из S = a · b = k²·m·n находим k = √(S/(m·n)) и затем стороны. Пример 9. Отношение сторон 3 : 2, площадь 150 см². Тогда m·n = 6, k = √(150/6) = √25 = 5. Получаем a = 15 см, b = 10 см. Периметр: P = 2(15 + 10) = 50 см. Если извлечение корня в программе не изучено, можно решить подбором, заметив, что числа должны быть кратны 3 и 2 и давать произведение 150.

Иногда требуется сравнить два прямоугольника по периметру и площади. Запомните: равные периметры не означают равные площади, и наоборот. Пример 10. Прямоугольники 9 × 9 и 12 × 6 имеют одинаковый периметр P = 36, но площади различны: 81 и 72. Пример 11. Прямоугольники 3 × 12 и 6 × 6 имеют одинаковую площадь S = 36, но периметры различны: 30 и 24.

Для самопроверки после решения выполните короткий чек-лист:

• Я правильно определил, что нужно найти: периметр или площадь?
• Все ли величины приведены к одинаковым единицам?
• Формула выбрана верно и обоснована?
• Единицы в ответе корректны: см для периметра, см² для площади?
• Округление выполнено в конце и с нужной точностью?

Наконец, пара задач-ловушек и советы. Если в задаче дан «периметр квадратного участка» — используйте P = 4a, а не 2(a + b). Если сказано «поле прямоугольной формы огорожено забором длиной 180 м» и «длина на 20 м больше ширины», запишите систему: a = b + 20 и 2(a + b) = 180, откуда b = 35 м, a = 55 м, площадь S = 1925 м². Если в чертеже есть «внутренний дворик» в форме прямоугольника — это вырез: площадь вычитается, но на периметр внешний контур дворик не влияет (если он внутри, а не на краю).

Итог. Чтобы уверенно решать задачи на площадь прямоугольника и периметр прямоугольника, держите под рукой базовые формулы, аккуратно работайте с единицами, рисуйте схемы и проговаривайте каждый шаг. Практикуйтесь на разных типах задач: прямые вычисления, обратные задачи, составные фигуры, координатная сетка, масштабирование и прикладные расчеты. Такой системный подход позволит быстро ориентироваться и в школьных примерах, и в задачах из реальной жизни.