В начале рассмотрим понятие, что такое пропорциональные отрезки и пропорциональные углы. Говорят, что два отрезка A и B и два отрезка C и D являются пропорциональными, если отношение их длин совпадает: A:B = C:D. Это можно записать и в виде равенства дробей A/B = C/D. Для углов аналогично: углы α и β пропорциональны углам γ и δ, если их меры находятся в одинаковом отношении, то есть α:β = γ:δ. Часто в школьной геометрии под «пропорциональными углами» понимают ситуации, когда углы сохраняют одинаковое отношение при гомотетии или в подобных фигурах, а также когда луч делит угол в заданном отношении. Главное — помнить: для отрезков и углов пропорция задаёт постоянное отношение.

Одно из центральных положений, где фигурируют пропорциональные отрезки, — это теорема Фалеса (иногда её называют «первая теорема Фалеса» или «теорема о параллельных прямых»). Формулировка: если несколько параллельных прямых пересекают два луча (или две секущие прямые), то отрезки, которые эти параллельные прямые отсекают на одних лучах, будут пропорциональны отрезкам на других лучах. Проще: пусть на двух лучах OX и OY возьмём точки A, B и A1, B1 так, что AA1 и BB1 лежат на параллельных прямых; тогда OA:OA1 = OB:OB1. Эта теорема даёт универсальный инструмент для доказательства пропорций и для построений: если нужно разделить отрезок в заданном отношении, можно провести параллельные прямые и воспользоваться этой теоремой.

Докажем идею теоремы Фалеса словесно: рассмотрим треугольник OAB и прямую, параллельную основанию AB, пересекающую стороны OA и OB в точках A1 и B1 соответственно. Тогда треугольники OA1B1 и OAB подобны (их углы попарно равны, так как одна сторона параллельна другой). Из подобия следует равенство отношений соответствующих сторон: OA:OA1 = OB:OB1 = AB: A1B1. Именно это равенство и выражает пропорциональность отрезков. Пропорция часто записывается так: OA/OA1 = OB/OB1. Для школьных задач важно уметь распознавать такие конфигурации и применять подобие треугольников.

Ещё одна важная теорема, тесно связанная с пропорциями, — это теорема о биссектрисе угла. Формулировка: биссектриса угла в треугольнике делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Если в треугольнике ABC проведён биссектрис AH (H — точка на BC), то BH:HC = AB:AC. Это удобный приём для вычисления длин частей стороны. Рассмотрим числовой пример: в треугольнике ABC известно AB = 7, AC = 9 и BC = 16, а из вершины A опущена биссектриса, которая пересекает BC в H. По теореме получаем BH = (AB/(AB+AC))·BC = 7/(7+9)·16 = 7/16·16 = 7. Следовательно, HC = 9. Этот приём часто используют в задачах на деление отрезка и в задачах с приложением теоремы Пифагора после деления стороны.

Разберём пошаговую методику решения задач с пропорциями, чтобы вы могли системно действовать в олимпиадных и контрольных заданиях. Алгоритм простой и универсальный:

• Внимательно прочитайте условие и сделайте аккуратный рисунок. Пометьте все длины, которые даны, и те, которые нужно найти.
• Ищите признаки подобия треугольников или наличие параллельных прямых (сигнал для применения теоремы Фалеса). Также проверяйте, присутствует ли биссектриса (подсказка для теоремы о биссектрисе).
• Запишите пропорцию: либо на основании подобия, либо из прямой формулы биссектрисы, либо из условия о параллельности.
• Решите полученное уравнение методом перекрёстного умножения: a/b = c/d ⇒ ad = bc. Найдите неизвестный отрезок.
• Проверьте ответ на согласованность с рисунком (отрицательные или нереалистичные значения — признак ошибки) и упростите дробь при необходимости.

Теперь два практических примера с пояснениями — первый на параллельные прямые, второй на применение биссектрисы и подобия.

1. Задача 1. На двух лучах OX и OY взяты точки A и B так, что OA = 6, OB = 9. Прямая, параллельная AB, пересекает OA в точке A1 и OB в точке B1 так, что OA1 = 4. Найдите OB1. Решение: по теореме Фалеса OA:OA1 = OB:OB1, значит 6:4 = 9:OB1. Записываем пропорцию 6/4 = 9/OB1. Перекрёстное умножение даёт 6·OB1 = 4·9, OB1 = 36/6 = 6. Ответ: OB1 = 6.
2. Задача 2. В треугольнике ABC известно AB = 7, AC = 9, BC = 16. Биссектриса AH пересекает BC в H. Найдите BH и HC. Решение: по теореме о биссектрисе BH:HC = AB:AC = 7:9, при том BH + HC = BC = 16. Обозначим BH = 7x, HC = 9x, тогда 7x + 9x = 16 ⇒ 16x = 16 ⇒ x = 1. Значит BH = 7, HC = 9. Ответ: BH = 7, HC = 9.

Не менее важна связь между подобием треугольников и пропорциями. Если два треугольника подобны, то отношения соответствующих сторон равны, а соответствующие углы равны. Это даёт мощный инструмент: часто в задаче нужно установить подобие (по двум углам или по двум сторонам и углу между ними), затем записать пропорции и вычислить неизвестные отрезки. Пример применения: в треугольнике через середину одной стороны проведена прямая, параллельная другой стороне — образовавшиеся маленькие и большие треугольники подобны, значит длины сторон малы и больших треугольников соотносятся как коэффициент гомотетии 1/2, 2 и т. д.

Ещё один полезный приём — использование среднего пропорционального (геометрического среднего). Если x — средний пропорциональный между a и b, то a:x = x:b, отсюда x = sqrt(ab). Средний пропорциональный появляется в задачах с прямоугольными треугольниками (например, при высоте, опущенной на гипотенузу, получаются два треугольника, подобные исходному, и высота является средним пропорциональным между частями гипотенузы). Эта идея часто используется для вывода формул и вычислений в задачах с прямоугольными треугольниками.

Наконец, несколько практических советов и типичных ошибок при работе с пропорциями. Во-первых, всегда проверяйте, что вы соотноcите именно соответствующие отрезки — при подобии надо сопоставлять правильные вершины и стороны. Во-вторых, не забывайте о единицах измерения (если в задаче даны разные единицы, приведите всё к одной). В-третьих, проверяйте граничные случаи: не делите на ноль, не принимайте длину отрезка за отрицательную. И ещё: при решении через подобие полезно записать прямо, какие углы равны, чтобы не ошибиться в порядке сторон в пропорции.

Подводя итог, можно выделить ключевые понятия, которые нужно запомнить и уметь применять: пропорция (отношение двух отрезков), теорема Фалеса (параллельные прямые отсекают пропорциональные отрезки), теорема о биссектрисе (биссектриса делит сторону пропорционально прилегающим сторонам), подобие треугольников (равные углы — равенство отношений сторон), а также приёмы решения — аккуратный рисунок, запись пропорции и решение уравнений методом перекрёстного умножения. Осознанное владение этими инструментами делает большинство задач семиклассника по этой теме прямолинейными и понятными.