В геометрии окружности ключевыми понятиями являются хорда и разные типы углов окружности. Хорда — это отрезок, соединяющий две точки окружности. Если хорда проходит через центр окружности, она называется диаметром. Понимание свойств хорд и углов важно для решения множества задач: нахождения длин, измерений углов, доказательств равенств и симметрий. В этом тексте мы подробно разберём определения, основные теоремы и дадим практические примеры с пошаговыми объяснениями, как решать стандартные задачи школьного уровня.

Начнём с определения углов, связанных с окружностью. Центральный угол — это угол с вершиной в центре окружности, стороны которого проходят через две точки окружности. Он опирается на ту же дугу, что и хорда, соединяющая эти точки. Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны проходят через две другие точки окружности; он также опирается на дугу. Важное соотношение: величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Это одно из ключевых правил, которым мы будем пользоваться постоянно.

Рассмотрим основные свойства хорд и дуг, которые часто используются в задачах.

• Хорды, которые равны по длине, отсекают равные дуги и соответствуют равным вписанным углам. Это удобно для доказательства равенства углов.
• Перпендикуляр, опущенный из центра окружности на хорду, делит хорду пополам и делит соответствующую дугу пополам. Следовательно, расстояние от центра до хорды определяет её длину.
• Каждая хорда находится на некотором расстоянии от центра; хорда ближе к центру длиннее. В пределе, самая длинная хорда — это диаметр.

Эти свойства позволяют строить дополнительные перпендикуляры и симметрии в задачах, упрощая расчёты.

Докажем теорему о соотношении вписанного и центрального углов в простом и наглядном виде. Пусть O — центр окружности, A и B — точки на окружности, а C — точка на окружности, отличная от A и B, такая что ∠ACB — вписанный угол, опирающийся на дугу AB. Рассмотрим центральный угол ∠AOB. Треугольники OAC и OBC — равнобедренные (OA = OC = радиус). Проведём через O перпендикуляр на хорду AB (или рассмотрим треугольники OAB, OAC и OBC). В зависимости от положения точки C (внутри или вне дуги), можно показать, что ∠ACB равен половине ∠AOB. Эту теорему удобно запомнить как: вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Она позволяет переходить от измерения дуги к измерению угла и обратно.

Далее рассмотрим формулу для длины хорды, полезную в задачах с числовыми вычислениями. Пусть AB — хорда окружности радиуса R, а ∠AOB = α — центральный угол в градусах, соответствующий дуге AB. Тогда длина хорды AB вычисляется по формуле: AB = 2·R·sin(α/2). Это следует из разложения треугольника OAB: проведя из O высоту на AB, получаем прямоугольный треугольник с гипотенузой R и одним острым углом α/2, где половина хорды равна R·sin(α/2). Практическое применение формулы видно на примерах ниже.

Пример 1. Нахождение длины хорды при известном радиусе и центральном угле. Пусть радиус R = 5 см, центральный угол α = 60°. Тогда длина хорды AB = 2·5·sin(30°) = 10·0.5 = 5 см. Шаги решения:

1. Записали формулу AB = 2·R·sin(α/2).
2. Подставили R = 5, α/2 = 30°.
3. Вычислили sin 30° = 0.5 и получили результат 5 см.

Этот пример показывает прямую связь между углом и длиной хорды и как удобно работать с тригонометрией в простых числах.

Пример 2. Нахождение радиуса по известной хорде и центральному углу. Пусть хорда AB = 6 см, а центральный угол α = 60°. Ищем R. Формула даёт R = AB / (2·sin(α/2)) = 6 / (2·sin30°) = 6 / (2·0.5) = 6. Шаги:

1. Переписали формулу в виде R = AB / (2·sin(α/2)).
2. Подставили значения и вычислили значение синуса.
3. Получили радиус R = 6 см.

Такие задачи часто встречаются при построениях и проектировании.

Помимо центральных и вписанных углов, существуют углы, образованные двумя хордами с вершиной внутри окружности (но не в центре) — величина такого угла равна половине суммы мер дуг, на которые он опирается. Если вершина угла лежит вне окружности, то величина угла, образованного двумя секущими (или касательной и секущей), равна половине разности соответствующих дуг. Для учащихся 8 класса полезно запомнить и уметь применять такие правила:

• Угол с вершиной на окружности = половина дуги, на которую он опирается.
• Угол с вершиной внутри окружности (не в центре) = половина суммы опирающихся дуг.
• Угол с вершиной вне окружности = половина разности опирающихся дуг.

Эти утверждения расширяют инструментарий для решения более сложных задач, где имеются пересекающиеся хорды и касательные.

Заключение и советы по решению задач. При работе с задачами на хорды и углы окружности полезно придерживаться следующего алгоритма:

1. Чётко обозначьте центры, точки пересечения и дуги; подписывайте радиусы и хорды.
2. Определите, какие углы дано — центральные, вписанные или образованные пересечением; переведите данные через дуги, если это упрощает задачу.
3. Ищите симметрии: равные хорды, перпендикуляры из центра, равные дуги облегчают вычисления.
4. Если нужно найти длину хорды, пользуйтесь формулой AB = 2·R·sin(α/2) или проводите вспомогательные прямоугольные треугольники.
5. Проверяйте единицы измерения и используйте числовые значения синусов для стандартных углов (30°, 45°, 60°) для быстрой проверки.

Практикуйтесь на разных конфигурациях: хорды, касательные, секущие. Это укрепит интуицию и позволит легко переходить от геометрических построений к расчётам.

В конце приведу ещё одну типовую задачу с подробным разбором. Задача: в окружности радиуса 10 см хорда AB равна 12 см. Найти центральный угол, опирающийся на эту хорду. Решение: применяем формулу AB = 2·R·sin(α/2). Подставляем 12 = 2·10·sin(α/2) => sin(α/2) = 12/(20) = 0.6. Значит α/2 = arcsin(0.6) ≈ 36.87°, тогда α ≈ 73.74°. Шаги были просты: выразили синус половинного угла, нашли его арксинус и удвоили для получения центрального угла. Такой приём часто встречается при обратных задачах (по хорде — найти угол).