Описанные и вписанные фигуры — это одна из ключевых тем планиметрии 8 класса, на которой сходятся понятия о многоугольниках, окружностях, углах и касательных. В простейшем виде определение звучит так: фигура вписана в другую фигуру, если все её вершины лежат на границе второй; фигура описана вокруг другой, если она касается её границы по всем сторонам или по всем вершинам. Особенно часто мы работаем с парами «многоугольник и окружность». Вписанная окружность касается всех сторон многоугольника, а описанная окружность проходит через все его вершины. Важно уметь узнавать такие конфигурации, понимать их свойства и применять их для вычислений длин, углов и площадей. В школе это чаще всего делается на примерах треугольников и четырехугольников, поскольку именно для них существует богатый набор полезных признаков и формул.

Начнем с треугольника — самой базовой фигуры. Для любого треугольника существует единственная описанная окружность (circumcircle) — окружность, проходящая через точки A, B и C. Её центр — это точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, а радиус описанной окружности обозначают R. Также для любого треугольника существует единственная вписанная окружность (incircle), касающаяся всех трех сторон; её центр — точка пересечения биссектрис углов, а радиус вписанной окружности обозначают r. Эти факты важны не только как теоремы существования, но и как готовые алгоритмы построения: чтобы построить описанную окружность, проведите три серединных перпендикуляра; чтобы построить вписанную окружность, проведите две биссектрисы и опустите перпендикуляр из найденного центра на любую сторону — его длина и будет r.

Чем полезны эти окружности? Во-первых, через них удобно выражать длины, площади и углы. Для треугольника действуют классические соотношения: площадь S можно найти как S = pr, где p — полупериметр, а r — радиус вписанной окружности. Также справедливо, что S = abc/(4R), где a, b, c — стороны, а R — радиус описанной окружности. Отсюда легко получить формулы R = a/(2 sin A) и r = S/p. Во-вторых, окружность упрощает угловые задачи: вписанный угол опирается на дугу окружности и равен половине соответствующего центрального угла; равные вписанные углы опираются на равные хорды. Эти свойства лежат в основе множества задач на доказательство равенств углов и нахождение неизвестных величин.

Нельзя обойти вниманием свойства касательных. Если окружность вписана в многоугольник, то её касательные к сторонам образуют важные равенства. Из любой внешней точки к окружности можно провести две касательные, и их отрезки от точки до точек касания равны. В треугольнике это приводит к удобной разметке: пусть окружность касается сторон в точках K, L, M. Тогда AK = AM, BK = BL, CL = CM. В сумме это дает периметр в виде пары равных групп и позволяет быстро решать задачи, где нужно найти недостающий участок стороны. В описанном четырехугольнике (то есть четырехугольнике, у которого существует вписанная окружность) суммы длин противоположных сторон равны: AB + CD = BC + AD. Это и есть критерий существования вписанной окружности в четырехугольник, и он выводится из равенства касательных из одной точки: AB = AK + KB = AM + MB, BC = BL + LC и так далее.

Теперь о «парной» теме — вписанных четырехугольниках, то есть четырехугольниках, которые можно вписать в окружность (их ещё называют циклическими). Главный признак: суммы противоположных углов такого четырехугольника равны 180 градусам. То есть, если ABCD — вписанный четырехугольник, то угол A + угол C = 180°, а угол B + угол D = 180°. Это условие и необходимое, и достаточное. Оно широко используется в задачах: если вам удалось доказать, что два угла дополняют друг друга до 180°, значит точки лежат на одной окружности, и можно использовать свойства вписанных углов, равенства дуг и хорд. Полезны и дополнительные факты: равные хорды стягивают равные дуги, а равные вписанные углы опираются на равные хорды. Диаметр перпендикулярен хорде в её середине; это помогает при построениях и в задачах на нахождение расстояний.

Как распознавать тип задач и что делать пошагово? Разумно придерживаться алгоритма. Если видите касания, моментально вспоминайте: касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, а отрезки касательных из одной точки к окружности равны. Если видите многоугольник с окружностью через вершины, переключайтесь на язык дуг, хорд и вписанных углов: используйте правило «вписанный угол равен половине центрального», отмечайте равные дуги. Если фигура — треугольник, проверьте, что проще: работать через вписанную окружность (формула S = pr) или через описанную окружность (S = abc/(4R)). В четырехугольниках сверяйте признак: для описанного четырехугольника должна выполняться сумма противоположных сторон, а для вписанного четырехугольника — сумма противоположных углов 180°. Часто полезно нанести на чертеж центры: центр описанной окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам, центр вписанной — на пересечении биссектрис. Это сразу дает перпендикуляры к касательным и позволяет составлять прямоугольные треугольники для вычислений.

Рассмотрим пример с числами, чтобы увидеть, как формулы работают на практике. Пусть дан треугольник со сторонами 13, 14 и 15. По формуле Герона находим площадь: полупериметр p = (13 + 14 + 15) / 2 = 21. Площадь S равна корню из p(p − a)(p − b)(p − c) = 21 × 8 × 7 × 6 = 7056; извлекая корень, получаем S = 84. Отсюда сразу находим радиус вписанной окружности: r = S / p = 84 / 21 = 4. Радиус описанной окружности можно получить по формуле S = abc / (4R). Подставляем: 84 = 13 × 14 × 15 / (4R), откуда R = 13 × 14 × 15 / (4 × 84) = 2730 / 336 = 8,125. Имея r и R, легко решать дополнительные задачи: например, если требуется расстояние от центра вписанной окружности до вершины, можно строить прямоугольные треугольники с радиусами, применять теорему Пифагора и свойства биссектрис. В экзаменационных задачах часто просят найти площадь через r и p или диаметр описанной окружности, если известна одна сторона и противолежащий угол (используя R = a/(2 sin A)).

Еще один показательный сюжет — четырехугольники. Допустим, дан описанный четырехугольник ABCD, у которого стороны AB, BC, CD известны, а AD — нет. Поскольку у него существует вписанная окружность, выполняется AB + CD = BC + AD. Значит AD = AB + CD − BC. Это мгновенное решение без сложных вычислений. Если же четырехугольник вписанный, и известно, что угол A = 70°, а угол C выражен как 3x + 10°, то из признака вписанного четырехугольника имеем A + C = 180°, то есть 70 + (3x + 10) = 180, откуда 3x = 100 и x = 100/3. После этого можно найти нужные углы и перейти к вычислению длин через теоремы о хордах и секущих, если потребуется. Во многих задачах комбинация двух типов фигур — вписанных и описанных — дает самый короткий путь к ответу: например, если в четырехугольник можно и вписать окружность, и описать вокруг него окружность, то одновременно работают две системы признаков, заметно сокращая рассуждения.

Отдельно обсудим конструкции циркулем и линейкой — это часто встречается на контрольных. Чтобы построить описанную окружность треугольника, выполните: 1) найдите середины двух сторон; 2) восстановите к ним перпендикуляры; 3) точка пересечения перпендикуляров — центр O; 4) проведите окружность с центром O через любую вершину. Чтобы построить вписанную окружность треугольника, сделайте: 1) проведите две биссектрисы углов; 2) их пересечение — центр I; 3) опустите из I перпендикуляр на любую сторону — это радиус r; 4) проведите окружность с центром I и радиусом r. Чтобы проверить, имеет ли четырехугольник вписанную окружность, используйте линейку: измерьте стороны и проверьте равенство AB + CD = BC + AD. Если да, то центр окружности — пересечение биссектрис его углов; построив точку и радиус, легко провести окружность, касающуюся всех сторон.

Полезно знать и типичные ошибки. Во-первых, нельзя путать «вписанную окружность» и «описанную окружность»: в первом случае окружность касается сторон фигуры, во втором — проходит через вершины. Во-вторых, не всякий четырехугольник можно вписать в окружность и не в любой четырехугольник можно вписать окружность. Следите за признаками: для вписанного четырехугольника сумма противоположных углов 180°, для описанного четырехугольника — суммы противоположных сторон равны. В-третьих, помните, что касательная всегда перпендикулярна радиусу в точке касания — это незаменимо в задачах с прямыми углами. В-четвертых, аккуратно обращайтесь с понятием «равные углы опираются на равные хорды»: это верно только в одной окружности; нельзя переносить углы между разными окружностями без дополнительных аргументов.

Чтобы уверенно решать задачи, возьмите на вооружение небольшой «чек-лист» действий:

• Если в условии фигурирует окружность и многоугольник, проверьте, вписана ли окружность в многоугольник или описана вокруг него, и сразу запишите соответствующие свойства.
• При виде касательных отметьте точки касания и проведите радиусы: вы получите прямые углы и равенства отрезков касательных из одной точки.
• В треугольниках применяйте S = pr и S = abc/(4R). Выбирайте формулу, исходя из известных данных.
• В четырехугольниках проверяйте признаки: AB + CD = BC + AD для описанного; угол A + угол C = 180° для вписанного.
• Редуцируйте угловые задачи на окружности к дугам и хордам: вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.
• Не забывайте про вспомогательные построения: серединные перпендикуляры, биссектрисы, перпендикуляры к касательным — они часто открывают решение.

Несколько расширяющих взгляд фактов помогут вам лучше ориентироваться. В любом треугольнике центр описанной окружности, центр вписанной окружности и свойства их расстояний связаны красивым соотношением Ойлера: OI^2 = R(R − 2r). Отсюда видно неравенство R ≥ 2r, которое часто используют для проверки ответов: если по вычислениям r получился больше R/2, значит, где-то допущена ошибка. Для вписанных четырехугольников существует теорема Птолемея: произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон. Хотя эта теорема выходит за базовый курс, она нередко встречается в олимпиадных задачах и сильно упрощает вычисления длин в конфигурациях на окружности. Для описанных четырехугольников всегда можно выразить площадь как S = r × p, где p — полупериметр, а r — радиус вписанной окружности, — это прямое обобщение треугольной формулы S = pr.

Практическое значение темы велико. Инженерные и архитектурные задачи постоянно используют идеи «вписать» и «описать»: например, при проектировании круглых элементов внутри многоугольных помещений или при размещении деталей, когда одна фигура должна касаться другой по всем сторонам. В задачах на местности и в навигации «описанная окружность» через три точки помогает определять положение и расстояния, а «вписанные углы» дают простые способы измерять недоступные углы через видимые дуги. Даже в дизайне логотипов и шрифтов широко применяются окружности, вписанные в многоугольники, чтобы обеспечить симметрию и равномерные зазоры.

Итог: чтобы уверенно владеть темой, держите в голове короткий словарь. Вписанная окружность — касается всех сторон многоугольника; её центр — пересечение биссектрис, радиус r удобен для формулы S = pr. Описанная окружность — проходит через все вершины; её центр — пересечение серединных перпендикуляров, радиус R связывает стороны и площадь формулой S = abc/(4R) и помогает работать с углами через R = a/(2 sin A). Вписанный четырехугольник — противоположные углы в сумме дают 180°; описанный четырехугольник — суммы противоположных сторон равны. Помните про касательные и их равные отрезки, про перпендикуляр радиуса к касательной и про связь вписанных углов с дугами. Применяя эти правила системно, вы будете уверенно распознавать типовые конфигурации, строить грамотные решения и легко объяснять каждый шаг, как это делает профессиональный учитель геометрии.