Аналитическая геометрия — это раздел математики, который объединяет геометрию и алгебру: геометрические объекты описываются на языке уравнений и координат. Такой подход позволяет не только наглядно видеть фигуры на плоскости, но и строго вычислять расстояния, углы, точки пересечения, области допустимых значений. В 10 классе российской школы ключевые темы включают координатную плоскость, уравнение прямой, расстояние между точками, окружности, а также элементы векторной алгебры и базовые понятия о пространстве. Важно понимать: любая формула здесь опирается на чёткую геометрическую идею, а каждое уравнение описывает конкретное геометрическое место точек.

Начнём с основ. На координатной плоскости (оси Ox и Oy) каждая точка имеет координаты (x; y). Вектор в координатах удобно задавать как направленный отрезок с компонентами (v1; v2). Сложение векторов и умножение на число выполняются по координатам: (a1; a2) + (b1; b2) = (a1 + b1; a2 + b2), k(a1; a2) = (ka1; ka2). Длина вектора (или расстояние от начала координат до точки) вычисляется как корень из суммы квадратов компонент: sqrt(a1^2 + a2^2). Отсюда сразу следует формула расстояния между точками A(x1; y1) и B(x2; y2): sqrt((x2 − x1)^2 + (y2 − y1)^2). Полезно помнить и формулу середины отрезка: M((x1 + x2)/2; (y1 + y2)/2). Эти три инструмента — длина, расстояние, середина — используются в большинстве задач на плоскости.

Перейдём к прямой. У прямой на плоскости есть множество форм записи. Общее уравнение прямой имеет вид ax + by + c = 0, где a и b не одновременно равны нулю. Формы удобны в разных ситуациях: каноническая форма (x/a) + (y/b) = 1 описывает прямую, пересекающую оси в точках (a; 0) и (0; b); точка–угловой коэффициент: y − y0 = k(x − x0), где k — угловой коэффициент (тангенс угла наклона), x0, y0 — координаты известной точки на прямой; нормальная форма: x cos α + y sin α − p = 0, где p — расстояние от начала координат до прямой, а α — угол наклона нормали. Угловой коэффициент k равен −a/b для прямой ax + by + c = 0 при b ≠ 0. Он показывает, как быстро растёт y при изменении x, и служит критерием параллельности и перпендикулярности: прямые параллельны, если k1 = k2 (или a1:b1 = a2:b2 в общей форме), и перпендикулярны, если k1·k2 = −1 (или a1·a2 + b1·b2 = 0, то есть их нормали перпендикулярны по скалярному произведению).

Рассмотрим алгоритм построения уравнения прямой по данным. Если заданы две точки A(x1; y1) и B(x2; y2), то удобно сначала найти направляющий вектор AB = (x2 − x1; y2 − y1). Тогда уравнение прямой можно записать через векторно-параметрическую форму: (x; y) = (x1; y1) + t(x2 − x1; y2 − y1). Для получения обычного уравнения убираем параметр: составляем уравнение коллинеарности векторов AM и AB, что приводит к детерминанту (x − x1; y − y1) и (x2 − x1; y2 − y1); его нулевое значение даёт итог: (x − x1)(y2 − y1) − (y − y1)(x2 − x1) = 0. Если дана точка и угловой коэффициент k, используйте y − y0 = k(x − x0). Если требуется прямая, параллельная ax + by + c = 0 и проходящая через точку (x0; y0), запишите ax + by + c' = 0 и подставьте координаты точки для нахождения c'. Если нужна перпендикулярная прямой ax + by + c = 0, возьмите уравнение вида bx − ay + c' = 0 (поменяли местами коэффициенты при x и y и изменили знак у одного) и снова найдите c' по точке.

Пример пошагового решения: найти уравнение прямой через точки A(2; −1) и B(6; 3).

1. Вычислите направляющий вектор AB: (6 − 2; 3 − (−1)) = (4; 4).
2. Составьте уравнение: (x − 2)·4 − (y + 1)·4 = 0.
3. Упростите: 4x − 8 − 4y − 4 = 0, то есть 4x − 4y − 12 = 0.
4. Сократите на 4: x − y − 3 = 0. Это искомая прямая.

Если требуется расстояние от точки до прямой ax + by + c = 0, применяется удобная формула: модуль выражения (a x0 + b y0 + c), делённый на корень из суммы квадратов коэффициентов a и b. Например, расстояние от точки C(4; 1) до прямой x − y − 3 = 0 равно |4 − 1 − 3| / sqrt(1^2 + (−1)^2) = 0 / sqrt(2) = 0, что логично: точка лежит на прямой. Если бы точка была, например, (4; 0), получили бы |4 − 0 − 3| / sqrt(2) = 1 / sqrt(2).

Перейдём к окружностям. Каноническое уравнение окружности с центром (a; b) и радиусом R имеет вид (x − a)^2 + (y − b)^2 = R^2. В общем виде это x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0. Чтобы найти центр и радиус по общему виду, удобно выполнить приведение к каноническому: группируем x и y, дополняем до квадратов, то есть выносим x^2 + Dx как (x + D/2)^2 − (D/2)^2, аналогично для y, и переносим свободные члены. Условие существования окружности: R^2 > 0, то есть (D/2)^2 + (E/2)^2 − F > 0. Касательная к окружности в точке T перпендикулярна радиусу OT. Условие касания прямой ax + by + c = 0 к окружности с центром O(a0; b0) и радиусом R: расстояние от O до прямой равно R. Если задача просит окружность, проходящую через три точки, составьте систему из трёх уравнений общего вида и решите относительно D, E, F — так вы получите единственную окружность (если точки не лежат на одной прямой).

К другим квадрикам плоскости относятся парабола, эллипс, гипербола. Полезно знать их канонические формы и геометрические определения: парабола — множество точек, равноудалённых от прямой (директрисы) и точки (фокуса); эллипс — сумма расстояний до двух фокусов постоянна; гипербола — разность расстояний до фокусов постоянна. В задачах 10 класса часто требуется распознать тип линии по общему квадратному уравнению Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0. Если B = 0 и нет смешанного члена, то по знакам A и C легко определить вид: A и C одного знака — эллипс (частный случай — окружность при A = C), одного из нулей нет, а другой не равен нулю — парабола, разные знаки — гипербола. Техника «дополнения до квадратов» помогает привести выражение к канону и найти центр или вершину фигуры.

Векторный аппарат — фундамент аналитической геометрии. Даны векторы u(a1; a2) и v(b1; b2). Их скалярное произведение равно a1b1 + a2b2 и одновременно равно произведению длин на косинус угла между ними. Отсюда критерии: векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю; направляющий вектор прямой перпендикулярен её нормали; угол между прямыми можно вычислять через угловые коэффициенты или через скалярное произведение их направляющих векторов. Векторная запись упрощает многие доказательства. Например, площадь треугольника ABC можно находить как половину модуля векторного «псевдодетерминанта» в 2D: 1/2 |x1y2 − x2y1| для векторов AB(x1; y1) и AC(x2; y2). Для задач с проекциями удобно помнить формулу проекции вектора на ось или на другой вектор через скалярное произведение и длину.

Коротко о пространстве. В пространственной аналитической геометрии точка имеет координаты (x; y; z), расстояние между точками A(x1; y1; z1) и B(x2; y2; z2) выражается корнем из суммы квадратов разностей: sqrt((x2 − x1)^2 + (y2 − y1)^2 + (z2 − z1)^2). Линия в пространстве задаётся параметрически: (x; y; z) = (x0; y0; z0) + t(l; m; n), где (l; m; n) — направляющий вектор. Плоскость описывается уравнением Ax + By + Cz + D = 0; вектор (A; B; C) является её нормалью. Расстояние от точки до плоскости вычисляется по формуле, аналогичной плоской: модуль A x0 + B y0 + C z0 + D, делённый на корень из A^2 + B^2 + C^2. Параллельность и перпендикулярность плоскостей определяются по их нормалям: параллельны, если нормали коллинеарны; перпендикулярны, если скалярное произведение нормалей равно нулю. Если речь идёт о пересечении прямой и плоскости, достаточно подставить параметрические координаты прямой в уравнение плоскости и найти параметр t.

Отдельная мощная идея — геометрическое место точек (ГМТ). Фраза «найдите все точки, удовлетворяющие условию…» почти всегда переводится в уравнение или систему уравнений. Например, множество точек, расстояние от которых до точки F равно расстоянию до прямой d, — это парабола. Множество точек, равноудалённых от A и B, — серединный перпендикуляр к отрезку AB, уравнение которого легко получить из равенства расстояний. Аналитический подход помогает решать и неравенства: полуплоскость ax + by + c ≥ 0 — это вся область по одну сторону от прямой ax + by + c = 0; систему двух линейных неравенств удобно изображать графически как пересечение полуплоскостей. В задачах с квадратичными неравенствами часто анализируют, какая часть плоскости внутри, снаружи или на границе окружности или эллипса удовлетворяет условию.

Часто в задачах встречаются преобразования координат. Сдвиг на вектор (p; q) заменяет каждую точку (x; y) на (x − p; y − q) в уравнении фигуры: чтобы упростить уравнение, удобно перенести центр фигуры в начало координат. Поворот на угол φ вокруг начала координат приводит к замене координат по формулам: новая x равна старой x cos φ + y sin φ, новая y равна −x sin φ + y cos φ. Такие преобразования помогают убрать смешанный член Bxy и привести уравнение ко виду канонической фигуры. Симметрии относительно осей и начала координат меняют знаки соответствующих координат: отражение относительно Ox меняет y на −y, относительно Oy — x на −x, относительно начала — оба знака. Понимание этих правил облегчает распознавание уравнений и быстрое рисование эскизов графиков.

Типичные ошибки и как их избежать:

• Неверное вычисление углового коэффициента: помните, что k = (y2 − y1)/(x2 − x1) и нельзя делить на ноль; вертикальная прямая имеет вид x = const и не имеет конечного k.
• Смешение понятий направляющего и нормального векторов: в ax + by + c = 0 нормальный вектор — (a; b), а направляющий к ней перпендикулярен.
• Потеря модулей и корней в формулах расстояния: расстояние всегда неотрицательное, поэтому берётся модуль числителя.
• Невнимательное упрощение дробей и коэффициентов: уравнение прямой можно умножать/делить на ненулевое число, не изменяя геометрического смысла.
• Ошибки при дополнении до квадратов в уравнениях окружности: проверяйте знаки и правильно переносите константы.

Закрепим подходы ещё одним комплексным примером. Пусть требуется: 1) найти уравнение прямой, перпендикулярной 2x − 3y + 5 = 0 и проходящей через точку P(1; 4); 2) найти расстояние от точки Q(−2; 1) до этой прямой; 3) составить уравнение окружности с центром в P и проходящей через Q.

1. Нормальный вектор исходной прямой — (2; −3). Направляющий вектор любой перпендикулярной к ней прямой совпадает с нормалью исходной, а нормаль новой будет параллельна направляющему исходной. Удобнее сразу записать уравнение искомой прямой в виде −3x − 2y + c = 0 (перпендикуляр: коэффициенты меняем местами и ставим знак минус у одного). Подставляем точку P: −3·1 − 2·4 + c = 0, получаем c = 11. Ответ: −3x − 2y + 11 = 0 (или 3x + 2y − 11 = 0 после умножения на −1).
2. Расстояние от Q(−2; 1) до прямой 3x + 2y − 11 = 0 равно |3·(−2) + 2·1 − 11| / sqrt(3^2 + 2^2) = |−6 + 2 − 11| / sqrt(13) = 15 / sqrt(13).
3. Окружность с центром P(1; 4) и радиусом PQ: R^2 = (−2 − 1)^2 + (1 − 4)^2 = (−3)^2 + (−3)^2 = 18. Уравнение: (x − 1)^2 + (y − 4)^2 = 18.

Стратегия успешного решения задач по аналитической геометрии проста и надёжна:

• Переведите условие на язык уравнений: определите тип линии (прямая, окружность, парабола и т. д.), выберите удобную форму уравнения.
• Выделите опорные элементы: точка, направляющий вектор, нормаль, центр, радиус; вычислите то, что можно найти сразу (угловой коэффициент, расстояние, середину).
• Запишите уравнение, подставьте известные координаты, аккуратно упростите.
• Сделайте проверку: подставьте исходные точки, оцените вид (например, есть ли вертикальная или горизонтальная прямая, верно ли направление наклона), проверьте граничные случаи.
• Если уравнение квадратное, применяйте «дополнение до квадратов» и анализируйте знаки коэффициентов.

Для систематической подготовки тренируйтесь на задачах разного уровня: восстановить уравнение прямой по графику; найти точку пересечения двух прямых (решить систему уравнений); определить взаимное расположение прямой и окружности (подставить y или x и исследовать квадратное уравнение по дискриминанту: два решения — две точки пересечения, ноль — касание, отрицательный — нет общих точек); определить тип квадрики по общему виду; решить систему неравенств графически. Постепенно вы научитесь свободно пользоваться понятиями координатная плоскость, уравнение прямой, угловой коэффициент, скалярное произведение, окружность, геометрическое место точек, а любые пространственные задачи сведёте к алгоритмам на векторы и нормали. Такой уверенный набор методов делает аналитическую геометрию не только логичной, но и очень удобной для практического решения задач в физике, информатике и инженерии.