В этом развернутом объяснении мы рассмотрим тему задачи на делимость и свойства чисел. Эта тема является базовой в математике старшей школы и включает понятия делимости, делителя, остатка, а также такие инструменты, как НОД (наибольший общий делитель), НОК (наименьшее общее кратное), критерии делимости и работа с простыми числами. Знание этих понятий важно не только для экзаменов, но и для решения задач из олимпиадной практики и прикладных задач в теории чисел.

Начнём с ключевого определения: целое число a называется делителем целого числа b, если существует целое число k такое, что b = a·k. В таком случае говорят, что b делится на a или a делит b, и чаще записывают a | b. Если при делении b на a остаётся ненулевой остаток, то пишут a ∤ b. Важно понимать разницу между делимостью нацело и делением с остатком — первая даёт точный целый результат.

Критерии делимости по основным основаниям — это быстрые приёмы проверки, которые используют свойства десятичной системы счисления. Несколько главных правил:

• 2: число делится на 2, если его последняя цифра чётная (0,2,4,6,8).
• 5: число делится на 5, если последняя цифра 0 или 5.
• 10: число делится на 10, если последняя цифра 0.
• 3 и 9: число делится на 3 (или на 9) тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3 (или на 9) соответственно.
• 11: число делится на 11, если разность суммы цифр, стоящих на нечётных позициях и суммы цифр на чётных позициях, делится на 11 (включая ноль как допустимый остаток).
• 4 и 8: для 4 достаточно проверить двузначное число, составленное из двух последних цифр; для 8 — три последние цифры.

Для более глубоких задач используются понятия НОД и НОК. НОД двух чисел a и b — это наибольший общий делитель; НОК — наименьшее число, которое делится и на a, и на b. Связь между ними выражается формулой: a·b = НОД(a,b)·НОК(a,b) для положительных a и b. Практическая польза НОД очевидна в решении диофантовых уравнений вида ax + by = c: решение существует тогда и только тогда, когда НОД(a,b) делит c. Для нахождения НОД удобно применять алгоритм Евклида, который состоит в последовательном делении с остатком: НОД(a,b) = НОД(b, a mod b). Приведу пример.

Пример 1 (алгоритм Евклида). Найдём НОД(252, 198). 252 = 198·1 + 54, 198 = 54·3 + 36, 54 = 36·1 + 18, 36 = 18·2 + 0. Последний ненулевой остаток 18 — это НОД. То есть НОД(252,198)=18. Этот приём особенно полезен в задачах, где требуется упрощать дроби, находить общие множители или решать линейные диофантовы уравнения.

Рассмотрим важное свойство делимости: если a | bc и НОД(a,b)=1, то a | c. Это легко доказывается с помощью разложения на простые множители или с помощью леммы о простых числах. Практическое применение — при работе с делимостью произведений: если известна взаимная простота двух множителей, можно «переносить» делимость на другой множитель. Приведу пример задачи и детальное решение.

Пример 2. Пусть известно, что 15 | 7x. Найдём, обязательно ли 15 | x. Разложим 15 = 3·5. Число 7 взаимно просто с 15 (НОД(7,15)=1), значит из 15 | 7x следует 15 | x. Формально: поскольку 3 | 7x и НОД(3,7)=1, то 3 | x; аналогично для 5. Следовательно, 15 | x. Такой приём часто используют в задачах с модульной арифметикой.

Далее — понятие разложения на простые множители. Фундаментальная теорема арифметики утверждает, что каждое натуральное число больше единицы представимо единственным образом с точностью до порядка множителей как произведение простых чисел. Это даёт мощный инструмент: зная факторизацию, легко находить количество делителей и сумму делителей. Если n = p1^a1 · p2^a2 · ... · pk^ak, то число делителей τ(n) = (a1+1)(a2+1)...(ak+1), а сумма делителей σ(n) = Π (p_i^(a_i+1) - 1)/(p_i - 1). Эти формулы часто применяют в задачах на поиск натуральных чисел с заданным количеством делителей или заданной суммой делителей.

Пример 3. Найти число натуральных делителей числа 360. Разложим: 360 = 2^3 · 3^2 · 5^1. Тогда количество делителей τ(360) = (3+1)(2+1)(1+1) = 4·3·2 = 24. Таким образом 360 имеет 24 положительных делителя. Если требуется перечислить или найти, например, все делители, удобно генерировать их перебором по степеням простых множителей.

Работа с остатками и модульной арифметикой позволяет значительно упростить многие задачи на делимость. Основные свойства остатков: (a + b) mod m = (a mod m + b mod m) mod m; (a·b) mod m = (a mod m · b mod m) mod m. Также полезны свойства возведения в степень с учётом периода (например, по малой теореме Ферма для простого м: a^(m-1) ≡ 1 (mod m) при НОД(a,m)=1). Рассмотрим задачу с цифрами и остатками.

Пример 4. Найти цифру x в числе 2x37 так, чтобы число делилось на 9 и на 11 одновременно. Условие делимости на 9: сумма цифр 2 + x + 3 + 7 = x + 12 должна делиться на 9, значит x ≡ 6 (mod 9), т.е. x = 6 или x = 15 но цифра от 0 до 9, поэтому x = 6. Проверим делимость на 11: вычисляем разность (сумма цифр на нечётных позициях) - (сумма цифр на чётных позициях). Нумерация справа налево: но удобнее применить правило: (2 + 3) - (x + 7) = 5 - x - 7 = - (x + 2). Для x=6 получаем -(8) = -8, которое не делится на 11. Значит условие «и на 9, и на 11» одновременно при x=6 не выполняется. Следовательно, решения нет. Этот пример иллюстрирует, как применять разные критерии последовательно и проверять совместность условий.

Особое внимание уделим задачам, где требуется показать делимость выражения при произвольных целых переменных. Часто используется приёмы разложения на множители, добавления и вычитания одинаковых выражений, выделения общего множителя. Пример типичного приёма: доказать, что разность a^n - b^n делится на a - b при любом n ∈ N. Это следует из формулы суммы геометрической прогрессии: a^n - b^n = (a - b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + ... + b^{n-1}). Такое представление даёт прямое доказательство делимости.

Пример 5. Докажем, что число 7^{2n} - 1 делится на 48 для любого натурального n. Разложим: 7^{2n} - 1 = (7^n - 1)(7^n + 1). Последовательность 7^n mod 16 чередуется, но проще заметить: 7 ≡ -1 (mod 4), значит 7^n ≡ (-1)^n (mod 4). Для чётных n 7^n ≡ 1 (mod 4), тогда оба множителя дают делимость на 2, на самом деле оценим делимость на 3 и 16: 7 ≡ 1 (mod 3), значит 7^{2n} ≡ 1 (mod 3) и (7^{2n} - 1) делится на 3; также 7 ≡ -1 (mod 8), 7^{2n} ≡ 1 (mod 8) и делится на 8. В итоге число делится на НОК(3,16)=48. Такой класс рассуждений часто встречается в олимпиадных задачах.

Наконец, приведу несколько практических советов и типичных шагов при решении задач на делимость: 1) выпишите определение делимости; 2) попробуйте разложить числа на простые множители; 3) используйте критерии делимости для быстрых проверок; 4) применяйте алгоритм Евклида для НОД; 5) при работе с произведениями применяйте свойство «если a | bc и НОД(a,b)=1, то a | c»; 6) при появлении степеней используйте факторизации вида a^n - b^n и теоремы остатка. Постоянная практика на примерах поможет развить интуицию и навык выбора оптимальной стратегии.

Подытоживая, важно запомнить ключевые понятия: делитель, остаток, НОД, НОК, простые и составные числа, а также практические инструменты — критерии делимости, алгоритм Евклида, разложения на простые множители и приёмы работы с остатками. Регулярная отработка примеров, начиная с простых и переходя к сложным комбинированным задачам, позволит уверенно решать любые задания по теме «задачи на делимость и свойства чисел».