В этом разъяснении мы подробно рассмотрим две тесно связанные темы школьного курса: комбинаторика и задачи на проценты. Обе темы часто встречаются в контрольных работах и экзаменах, а их сочетание — распространённая база для задач по вероятности и прикладным задачам. Я изложу основные принципы, формулы и методы решения, проиллюстрирую материал примерами и дам советы по типичным ошибкам, чтобы вы могли уверенно решать задания и понимать логику действий.

Комбинаторика начинается с самых простых принципов: правила сложения и умножения. Если событие A может произойти m способами, а событие B — n способами, и эти события взаимоисключающие, то общее число способов равно m+n (правило сложения). Если нужно выполнить последовательно сначала действие A, затем действие B, и для каждого варианта A доступно n способов, а для каждого A — k способов B, то общее число способов равно n·k (правило умножения). Эти два правила лежат в основе всех дальнейших формул: перестановок, размещений и сочетаний.

Далее идут три ключевых понятия: перестановки, размещения и сочетания. Перестановки — это все возможные упорядоченные перестановки n различных элементов, их число равно n! (n факториал, произведение всех натуральных чис до n). Если нужно выбрать k упорядоченных элементов из n без повторений, то используется формула размещений: P(n,k)=n·(n−1)·...·(n−k+1)=n!/(n−k)!. Для сочетаний (когда порядок не важен) используют биномиальный коэффициент: C(n,k)=n!/(k!(n−k)!). Наконец, есть размещения и сочетания с повторениями: число сочетаний с повторениями равно C(n+k−1,k). Примеры показывают, как применять формулы на практике.

Пример 1 (перестановки и сочетания): Сколькими способами можно выбрать председателя, секретаря и старосту из 10 учеников? Это размещение: P(10,3)=10·9·8=720. Сколькими способами можно выбрать команду из 3 человек (без званий)? Это сочетание: C(10,3)=10·9·8/3·2·1=120. Обратите внимание: для расчёта вероятности того, что конкретный ученик окажется в команде, можно взять благоприятные варианты (команда с этим учеником) C(9,2)=36 и разделить на общее C(10,3)=120, получив 36/120=0,3 = 30%.

Переходим к теме проценты. Основные операции с процентами — это перевод процента в дробь или десятичную запись (p% = p/100), вычисление процентной части от числа (A·p/100), нахождение числа по его проценту (если x — p% от A, то A = x·100/p) и расчёт процентного изменения. Для увеличения на p%: новое значение = исходное ·(1 + p/100). Для уменьшения на p%: новое значение = исходное ·(1 − p/100). При последовательных изменения проценты умножаются: после увеличения на p% и затем на q% множитель станет (1+p/100)(1+q/100). Важно: последовательные процентные изменения нельзя просто складывать, если знаки одинаковы, и тем более если разные. Обратное вычисление требует деления на соответствующий множитель.

Пример 2 (проценты): Цена товара 5000 руб. была уменьшена на 15%, затем на 10%. Найти итоговую цену и суммарный процент уменьшения. Сначала уменьшаем: 5000·0,85=4250. Потом ещё на 10%: 4250·0,9=3825 руб. Суммарный коэффициент = 0,85·0,9=0,765, следовательно итоговая цена = 5000·0,765=3825. Суммарное уменьшение в процентах = (1−0,765)·100%=23,5% (не 25%!). Это демонстрирует, что проценты компонуются умножением.

Теперь рассмотрим задачи, где комбинаторика и проценты пересекаются. Часто требуется найти вероятность (в процентах) события, считая все равновероятными способами. Правило: вероятность = (число благоприятных исходов)/(общее число исходов). Если все исходы равновероятны, переводим дробь в проценты умножением на 100. Пример: в урне 8 белых и 4 чёрных шарика. Найти вероятность, что при случайном выборе трёх шаров без возвращения будет ровно два белых. Общее число исходов C(12,3)=220. Благоприятные: выбрать 2 белых из 8 и 1 чёрный из 4: C(8,2)·C(4,1)=28·4=112. Вероятность = 112/220=0,509... = 50,9% (приблизительно). Здесь комбинируются сочетания и перевод в проценты.

Пример 3 (комплексная задача шаг за шагом): В классе 20 учеников 12 мальчиков и 8 девочек. Рандомно выбирают трёх учащихся для выступления по очереди (позиции важны). Найти вероятность, что в набор попадут точно 2 девочки, выраженную в процентах. Шаг 1: количество всех упорядоченных выборок без повторений — размещения P(20,3)=20·19·18. Шаг 2: число благоприятных упорядоченных исходов: сначала выбрать позиции для двух девочек и одной мальчика: но проще считать так — выбрать 2 девочки из 8 и упорядочить их и упорядочить вместе с мальчиком: C(8,2)·C(12,1)·3! (поскольку выбранные три человека могут стоять в любом порядке). Или рассчитывать через размещения по отдельности: P(8,2)·P(12,1)=8·7·12 — однако тогда порядок внутри трёх учтён? Нужно объяснить аккуратно: если считаем упорядоченные тройки, то благоприятные варианты = P(8,2)·P(12,1)=8·7·12=672. Общее P(20,3)=6840. Вероятность = 672/6840≈0,0983 = 9,83%. Важно показывать согласованность подхода: либо все упорядоченные, либо все неупорядоченные.

Далее — полезные приёмы и частые ошибки. Во-первых, всегда четко определяйте, считается ли порядок: если да — используйте размещения или перестановки, если нет — сочетания. Во-вторых, при работе с процентами следите за переводом в десятичную дробь и порядком операций: делайте умножения/деления до сложения процентов. В-третьих, при последовательных изменениях процентов всегда перемножайте множители (1±p/100), а если нужно вернуться к исходному значению после уменьшения на p%, делитель будет (1−p/100). Наконец, при переводе вероятности в проценты умножайте на 100 и округляйте аккуратно, указывая точность.

Практические задания для закрепления с краткими ответами:

1. Сколько всевозможных пар учеников можно составить из 15? (C(15,2)=105)
2. Сколькими способами можно расположить 5 книг на полке? (5!=120)
3. В магазине скидка 20%, затем ещё дополнительная 10% на уже уценённую цену. Какой итоговый процент скидки? (Коэффициент = 0,8·0,9=0,72 → итоговая скидка 28%.)
4. Из 6 девушек и 4 юношей выбирают трёх членов жюри без учёта порядка. Какова вероятность, что в жюри будет не менее двух девушек? (Благоприятные: C(6,2)·C(4,1)+C(6,3)=15·4+20=60+20=80; общее C(10,3)=120; вероятность=80/120=2/3 ≈66,67%.)

В заключение дам несколько рекомендаций для самостоятельной работы и подготовки к ЕГЭ: регулярно тренируйтесь переводить проценты в десятичные дроби и обратно, выписывайте подробно формуулы размещений и сочетаний, всегда подписывайте, учитывается ли порядок. Для комбинированных задач сначала определите модель задачи (упорядоченные/неупорядоченные выборки, с повторениями/без) и только затем подставляйте формулу. Помните: математическая аккуратность и пошаговое объяснение — ваш лучший инструмент при решении сложных задач на комбинаторику и проценты. Если хотите, могу подготовить подборку из 10 разнообразных задач разного уровня сложности с подробными решениями для самостоятельного разбора.