В математике выражение называется не определено, когда для него отсутствует смысл при текущих условиях — чаще всего потому, что аргументы выходят за пределы допустимой области или правила операций не позволяют выполнить вычисление. Понятие «не определено» встречается в самых разных разделах: при работе с функциями (область определения), при вычислении пределов (индетерминированные формы), при взятии корней или логарифмов (ограничения по знаку аргумента), а также при операциях с бесконечностями. Чтобы успешно работать с такими ситуациями, важно постоянно проверять, какие значения переменных допустимы, и уметь отличать «строго запрещённые» случаи (например, деление на ноль) от «неоднозначных» (индетерминированных) ситуаций, которые требуют дополнительного анализа.

Первый ключевой шаг при решении любой задачи — определить область определения выражения или функции. Это совокупность всех значений переменной, при которых выражение имеет смысл в рамках рассматриваемой числовой системы (обычно — действительных чисел). Типичные причины исключения значений из области определения: деление на ноль, взятие квадратного (или чётного) корня из отрицательного числа, логарифм отрицательного аргумента или нуля. Пример: функция f(x) = 1/(x − 2) имеет область определения x ≠ 2, потому что при x = 2 происходит деление на ноль, и выражение становится не определено.

Важно различать два близких понятия: выражение может быть не определено в точке и при этом предел этого выражения при стремлении переменной к этой точке может существовать. Возьмём например выражение (x^2 − 1)/(x − 1). При x = 1 подставлять значение нельзя: числитель и знаменатель дают ноль, то есть в точке выражение формально не определено. Но если упростить дробь, сократив множитель (x − 1), мы получим x + 1, и предел при x → 1 равен 2. Такая ситуация называется «устранимый разрыв» или «съёмная особенность» — исходное выражение не определено в точке, но логично заполнить значение равным пределу, чтобы сделать функцию непрерывной в этой точке.

Другой класс сложных случаев — это так называемые индетерминированные формы, которые возникают при вычислении пределов: 0/0, ∞/∞, 0·∞, ∞ − ∞, 1^∞, 0^0, ∞^0 и т.п. Эти записанные символы сами по себе не определяют конечное значение предела: нужно преобразовать выражение и применить методы предельного анализа. Рассмотрим пример: найти предел (sin x)/x при x → 0. Непосредственная подстановка даёт 0/0 — форма indeterminate. Однако с помощью известного тригонометрического предела или разложения по формуле синуса получаем, что предел равен 1. То есть indeterminate 0/0 требует более глубокого анализа, а не означает, что «ответ не существует» автоматически.

Разберём пошаговое решение для примера (x^2 − 1)/(x − 1) при x → 1. Шаг 1: установим, что прямая подстановка x = 1 даёт 0/0 — выражение не определено в точке. Шаг 2: попытаемся упростить алгебраически: x^2 − 1 = (x − 1)(x + 1). Шаг 3: сократим (x − 1), получив выражение x + 1, которое определено в точке x = 1 и даёт значение 2. Шаг 4: делаем вывод: предел равен 2, исходная функция имеет устранимый разрыв в точке x = 1. Такой порядок действий — поиск фактора, приводящего к нулю в числителе и знаменателе, и последующее сокращение — стандартный прием при устранении формы 0/0.

Когда алгебраическое упрощение невозможно или неочевидно, применяется правило Лопиталя (Л’Опиталя) — мощный инструмент для пределов, при соблюдении условий: если предел числителя и знаменателя при стремлении аргумента к точке равны 0 или ±∞, и обе функции дифференцируемы в окрестности точки (кроме, возможно, самой точки), то предел отношения равен пределу отношения их производных (при существовании этого предела). Пример: предел (e^x − 1)/x при x → 0. Непосредственно 0/0, берем производные: (e^x)/(1) и при x → 0 получаем e^0 = 1. Правило Лопиталя нужно применять осторожно: сначала проверить начальную форму и условия дифференцируемости, а затем, при необходимости, повторить несколько раз, если после первого применения всё ещё получаем indeterminate форму.

Понятие «не определена» распространяется и на выражения вида 0^0 или ∞^0. В элементарном анализе 0^0 обычно считают неопределённым, потому что разные контекстуальные подходы дают разные результаты: в комбинаторике иногда принимают 0^0 = 1 для удобства формул, а в анализе при вычислении пределов выражение 0^0 даёт indeterminate форму, требующую дополнительного исследования через пределы. Аналогично выражения с бесконечностями требуют аккуратной работы: например, при стремлении вида (1 + 1/x)^x при x → ∞ получаем форму 1^∞, но предел равен e. Этот пример подчёркивает мысль: «форма» не дает ответа сама по себе — нужен анализ поведения функции в окрестности точки.

Помимо пределов и функций, «не определено» встречается в интегральном исчислении — при вычислении неправильных интегралов (когда пределы интегрирования включают точки, где подынтегральная функция не определена, или область интегрирования неограничена). Решение состоит в том, чтобы представить интеграл как предел определённых интегралов на приближающихся интервалах и проверить сходимость. Если предел существует конечным числом, интеграл называется сходящимся и, по сути, мы «определяем» значение интеграла через предел. Если же предел расходится, то интеграл не имеет смысла в обычном смысле и остаётся не определённым как конечное число.

Заключение-резюме: при встрече с выражением, которое выглядит как не определено, рекомендуется следовать алгоритму: 1) явно найти и записать область определения; 2) попытаться упростить выражение алгебраически; 3) при расчёте предела проверить, не появилась ли индетерминированная форма и применить подходящие методы (фактoring, подстановка, правило Л’Опиталя, тригонометрические пределы, разложения в ряд); 4) при наличии устранимого разрыва при необходимости заполнить точку значением предела; 5) если это интеграл или сумма, перейти к рассмотрению предельных процессов и проверить сходимость. Соблюдение этой последовательности уменьшает риск ошибок и помогает дать корректный ответ там, где на первый взгляд выражение кажется «неопределённым».

Несколько практических советов от учителя: всегда выписывайте условия, при которых выражение имеет смысл; помните, что предел и значение функции в точке — разные вещи; не путайте «не определено» (категорический запрет подстановки) и «индетерминированность» в предельном анализе; при подготовке к экзаменам тренируйтесь на типовых примерах с формами 0/0, ∞/∞ и 1^∞; и, наконец, помните, что иногда «не определено» можно устранить, расширив понятие (через предел или комплексное продолжение), а иногда это фундаментальное ограничение выбранной числовой системы (например, квадратный корень из отрицательного числа в действительных числах).

Если хотите, могу привести подробные расчеты для нескольких конкретных задач: пример с дробью, дающий устранимый разрыв; пример с корнем и логарифмом, ограничивающим область определения; пример с формой 0/0, где правило Лопиталя уместно; и пример с выражением 0^0 в контексте предела. Напишите, какие примеры вам интересны, и я развернуто разберу их шаг за шагом.