Кратность числа 3 — это свойство числа, при котором оно делится на 3 без остатка. Если мы можем выразить число как 3 × k (где k — целое число), значит, это число кратно 3. Например, 12 = 3 × 4, поэтому 12 кратно 3, а вот 14 так записать нельзя, следовательно, 14 не делится на 3 нацело. В начальной школе важно понять смысл: деление на 3 — это разбиение на три равные группы, и если предметы поделились поровну без «лишних», то полученное число — кратное 3.

Начнем с простого наблюдения. Если вспомнить таблицу умножения, мы легко перечислим первые кратные 3 числа: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30 и так далее. Замечаем закономерность: каждое следующее кратное получается прибавлением еще одной «тройки». Поэтому среди натуральных чисел каждое третье число — кратно 3. Это можно увидеть, если считать: 1 (не делится), 2 (не делится), 3 (делится), 4, 5, 6 (делится), 7, 8, 9 (делится)… Такой счет помогает запоминать ряд кратных: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45 и т.д. Отдельно подчеркнем, что 0 кратен 3, ведь 0 = 3 × 0, и деление 0 на 3 дает 0 без остатка.

Самый удобный способ быстро определить, делится ли число на 3, — использовать признак делимости на 3. Он звучит так: если сумма цифр числа кратна 3, то и само число делится на 3. Например, проверим число 342. Складываем цифры: 3 + 4 + 2 = 9. Число 9 кратно 3, значит, и 342 делится на 3. Проверим 457: 4 + 5 + 7 = 16. Число 16 не делится на 3, следовательно, 457 не кратно 3. Этот признак работает для любых по длине чисел, он надежный и простой. Почему он верен? В коротком объяснении для начальной школы скажем так: числа «9», «99», «999» и другие, составленные из девяток, делятся на 3, а при разложении любого числа по разрядам его «лишек» по отношению к делению на 3 как раз совпадает с суммой цифр. Поэтому сумма цифр и подсказывает, делится ли число на 3 без остатка.

Как применять признак делимости на 3 пошагово? Предлагаю простой алгоритм:

1. Запишите число и аккуратно сложите все его цифры.
2. Если сумма получилась большой, снова сложите ее цифры (этот прием называют «сведением к одной цифре» или «цифровым корнем»).
3. Если итог — 3, 6 или 9, то исходное число делится на 3; если итог — 1, 2, 4, 5, 7 или 8, то число не кратно 3.

Пример: 7 524. Сумма цифр 7 + 5 + 2 + 4 = 18. Повторяем: 1 + 8 = 9. Итог — 9, следовательно, 7 524 кратно 3. Другой пример: 8 231. Складываем 8 + 2 + 3 + 1 = 14; 1 + 4 = 5. Итог — 5, значит, число не делится на 3. Полезный прием: можно «вычеркивать» или мысленно отбрасывать цифры, дающие в сумме 3, 6 или 9 (например, пары 1+2, 4+5, 7+2, или отдельные цифры 3, 6, 9), — это не изменит проверку кратности и ускорит устный счет.

Важно знать несколько свойств кратности числа 3, которые помогают решать задачи:

• Сумма двух чисел, кратных 3, тоже кратна 3. Например, 18 + 24 = 42, и 42 делится на 3.
• Разность двух чисел, кратных 3, кратна 3: 33 − 12 = 21, а 21 делится на 3.
• Произведение, в котором хотя бы один множитель кратен 3, кратно 3: 3 × 47 = 141 — делится на 3; 12 × 5 = 60 — тоже делится на 3, так как 12 кратно 3? Нет, аккуратнее: 12 не кратно 3, но 60 делится на 3? Считаем: 6 + 0 = 6, значит — делится, потому что в 60 есть множитель 3 в разложении 12 × 5? На самом деле критерий проще: если хотя бы один множитель делится на 3, произведение обязательно делится на 3. Для 12 × 5 условие не выполнено, но 60 все равно делится — так бывает, потому что 12 = 3 × 4? Нет, 12 = 3 × 4 неверно. Исправим пример правильно: 15 × 4 = 60 (здесь уже один множитель — 15 — кратен 3), поэтому произведение кратно 3. Этот пункт важно проговаривать внимательно, чтобы не запутаться.
• Если число кратно 9, то оно обязательно кратно 3 (ведь 9 — это 3 × 3). Например, 81 делится и на 9, и на 3.
• Если число одновременно кратно 2 и 3, то оно кратно 6. Например, 18 — четное и делится на 3, значит, оно кратно 6.
• Каждое третье натуральное число кратно 3, значит, в любом отрезке из трех подряд идущих чисел одно обязательно делится на 3.

Теперь поговорим об остатках при делении на 3. Любое натуральное число при делении на 3 дает остаток 0, 1 или 2. Если остаток 0 — число кратно 3. Остаток 1 значит: до ближайшего кратного 3 не хватает единички (например, 10 делится с остатком 1, потому что ближайшее кратное — 9). Остаток 2 значит: до кратного 3 не хватает двух (например, 14 близко к 15). Это знание удобно в устных рассуждениях. Например, если одно число дает остаток 1, а другое — остаток 2, то их сумма дает остаток 0 (1 + 2 = 3), то есть сумма делится на 3. Так можно быстро предвидеть кратность без долгих вычислений. Помните также, что последняя цифра никак не определяет делимость на 3 (в отличие от делимости на 2 или 5), поэтому ориентироваться нужно именно на сумму цифр.

Для лучшего понимания переводим абстрактные правила в конкретные жизненные ситуации. Представьте, что у вас есть 27 наклеек, и вы хотите разложить их по 3 штуки в каждый конверт. Если наклейки заканчиваются ровно, значит, 27 делится на 3. Если бы наклеек было 29, вы смогли бы полностью заполнить 9 конвертов (9 × 3 = 27), а две наклейки остались бы лишними — это и есть остаток 2. В задачах часто встречается формулировка «разложить поровну в 3 коробки», «разделить класс на тройки» — все это проверка кратности числу 3. Если получилось поровну, число кратно 3, если нет — есть остаток.

Разберем распространенные ошибки, чтобы их избежать:

• Путаница с четностью: «если число четное, значит, оно кратно 3». Это неверно. Четность связана с делимостью на 2, а кратность 3 — с делимостью на 3. Например, 14 — четное, но не делится на 3.
• Опора на последнюю цифру: «если последняя цифра 3, 6, 9, то число делится на 3». Это не всегда так. Например, 23 оканчивается на 3, но не делится на 3, так как 2 + 3 = 5.
• Неправильный подсчет суммы цифр. В больших числах легко ошибиться. Совет: записывайте промежуточную сумму столбиком или группируйте цифры в пары, дающие 10, чтобы считать быстрее.
• Забывают про число 0. Напоминаю: 0 — кратно 3, как и любому числу, поскольку 0 = 3 × 0.
• Смешение свойств умножения. Важно помнить: если хотя бы один множитель делится на 3, произведение делится на 3. Обратное неверно: произведение может делиться на 3 и тогда, когда ни один множитель по отдельности не делится на 3 (например, 2 × 3 делится на 3, потому что второй множитель кратен 3; а 4 × 6 делится на 3? 4 не делится, но 6 делится, поэтому произведение тоже делится).

Попрактикуемся. Выполним задания шаг за шагом, как на уроке.

1. Проверь, кратно ли 3 число 7 938. Складываем цифры: 7 + 9 + 3 + 8 = 27. Сумма 27 делится на 3 (2 + 7 = 9), значит, число делится на 3. Ответ: да, кратно.
2. Проверь, делится ли на 3 число 4 111. Сумма цифр: 4 + 1 + 1 + 1 = 7. Семь не кратно 3, следовательно, число не делится на 3. Ответ: нет, не кратно.
3. Найди следующее после 250 число, кратное 3. Сложим цифры 2 + 5 + 0 = 7, остаток 1 (до кратного не хватает 2). Значит, ближайшее сверху кратное — 252. Проверка: 2 + 5 + 2 = 9. Ответ: 252.
4. Сколько троек содержится в 36? Это вопрос на деление: 36 ÷ 3 = 12. Значит, 36 — это 12 групп по 3. Ответ: 12.
5. В классе 29 тетрадей. Их раскладывают поровну в стопки по 3. Сколько стопок получится и сколько останется? 29 ÷ 3 = 9 стопок по 3 тетради, остаток 2. Ответ: 9 стопок и 2 тетради останутся.

Еще один полезный навык — находить наименьшее общее кратное в простых случаях. Например, «какое наименьшее число делится и на 2, и на 3?» Ответ — 6, потому что 6 кратно и 2, и 3. Это помогает, когда нужно синхронизировать события: «одна лампа мигает раз в 2 секунды, другая — раз в 3 секунды; когда они мигнут вместе?» Через 6 секунд. Хотя тема НОК изучается позднее, базовая идея опирается на кратность и будет понятна уже сейчас. Также важно знать: если число кратно 9, оно обязательно кратно 3, но наоборот — не всегда (например, 27 кратно 9 и 3, а 12 — только 3, но не 9).

Для развития устного счета пригодятся маленькие хитрости:

• Группируйте цифры, дающие в сумме 9 (или 3, или 6), и «отбрасывайте» их при проверке. Например, в числе 8 463 можно заметить 8 + 1 = 9, если «добрать» 1 из 463, но удобнее: 8 + 4 = 12, 12 + 6 = 18, 18 + 3 = 21; 2 + 1 = 3 — делится.
• Ищите ближайшее кратное 3 и сравнивайте. Например, 197 близко к 198 (это 3 × 66), значит, 197 дает остаток 1 при делении на 3.
• Помните, что число из одинаковых цифр типа 333, 666, 999 всегда кратно 3, потому что каждая цифра дает вклад, кратный 3.
• Если сумма цифр получилась длинной, продолжайте складывать до одной цифры. Итоги 3, 6, 9 — сигнал: «делится на 3».

Наконец, закрепим все в одном месте с короткими «вопросами-ответами»:

• Что значит «кратно 3»? Это делится на 3 без остатка: число можно представить как 3 × k.
• Как быстро проверить делимость? Сложить цифры и посмотреть, кратна ли сумма 3.
• Какие бывают остатки при делении на 3? Только 0, 1 или 2.
• Каждое ли четное число кратно 3? Нет, четность и кратность 3 — разные свойства.
• Если число кратно 9, оно кратно 3? Да, всегда.
• Какое минимальное число кратно и 2, и 3? 6.

Подведем итог. Понимание того, что такое кратность числа 3, опирается на простую идею деления на равные группы по три. Умение пользоваться признаком делимости на 3 делает проверку быстрой и надежной даже для очень больших чисел. Знание свойств суммы, разности и произведения помогает рассуждать без лишних вычислений, а работа с остатками развивает математическую интуицию. Тренируйтесь на примерах, придумывайте свои числа, проверяйте их кратность, и вы легко научитесь видеть, где число делится на 3, а где появляется остаток. Такая практика пригодится на уроках, в задачах на деление предметов поровну и в дальнейшей учебе, где тема кратности станет основой для более сложных понятий.