Пропорции — это удобный способ сравнивать величины и решать задачи, где одна величина зависит от другой. В 4 классе чаще всего встречаются задачи на связь трех величин: цена, количество и стоимость. Эти задачи полезны и в жизни, и в учебе: они учат аккуратно работать с единицами измерения, понимать, как изменяются числа «во сколько раз», и проверять результат на здравый смысл. Важно запомнить главный закон таких задач: если мы покупаем больше одинакового товара по той же цене, то и стоимость возрастает пропорционально; если покупаем меньше — стоимость уменьшается пропорционально. Такой тип зависимости называют прямой пропорциональностью.

В задачах на покупку мы всегда имеем три взаимосвязанные величины: Цена (Ц) — стоимость одного предмета или одного килограмма; Количество (К) — сколько предметов или килограммов; Стоимость (С) — сколько рублей нужно заплатить за все вместе. Между ними действует простое правило: С = Ц × К. Это правило помогает быстро находить любую из трех величин, если известны две другие. Чтобы работать уверенно, полезно выучить «треугольник» отношений: стоимость спрятана сверху, а цена и количество — внизу. Тогда очевидно: чтобы найти стоимость, умножаем; чтобы найти цену или количество — делим.

Существует два базовых способа решения таких задач. Первый — метод единицы (найти цену за 1 предмет или 1 кг, а потом умножить на количество). Второй — метод коэффициента («во сколько раз»): сравнить, во сколько раз изменилось количество, и так же изменить стоимость. Оба метода правильны, часто один из них позволяет решить задачу быстрее, но полезно уметь оба.

Метод единицы (единичная цена) особенно удобен, когда дана общая стоимость за несколько единиц товара и нужно найти цену за одну или, наоборот, когда дана цена за 1 и нужно найти стоимость за несколько. Например: «7 тетрадей стоят 210 рублей. Сколько стоит одна тетрадь?». Шаги просты: 1) находим цену за 1 — 210 ÷ 7 = 30 (рублей за тетрадь); 2) если понадобится стоимость за другое количество — просто умножаем. Этот же прием работает и для килограммов, литров, метров. Важно: делим общую стоимость на количество — так мы получаем единичную цену.

Метод коэффициента («во сколько раз») удобен, когда есть две связанные строки данных. Например: «3 кг яблок стоят 180 рублей. Сколько заплатим за 5 кг при той же цене за килограмм?» Сравним количество: из 3 кг в 5 кг — это увеличение в 5 : 3 раза. Стоимость меняется в том же отношении, потому что зависимость прямая: 180 × (5/3) = 300 рублей. В начальной школе чаще считают в два шага: 1) цена за 1 кг: 180 ÷ 3 = 60 руб; 2) общая стоимость: 60 × 5 = 300 руб. Но понимание «во сколько раз» помогает решать быстрее и видеть пропорцию целиком.

Разберем подробно, как решать три стандартных типа задач: найти стоимость, найти количество, найти цену. Каждый тип имеет четкий алгоритм и свою проверку. Обязательно следите за единицами измерения: рубли, килограммы, штуки, литры — все должно быть согласовано. Если в условии встречаются граммы и килограммы, сначала переведите все в одинаковые единицы (например, 500 г = 0,5 кг).

1) Найти стоимость, если известны цена и количество. Это самый простой случай прямой пропорции: умножаем. Пример: «Цена яблок 80 руб/кг. Сколько стоят 6 кг?» Решение: С = 80 × 6 = 480 руб. Проверка здравым смыслом: 80 руб за 1 кг — за 5 кг было бы 400 руб, за 6 кг — чуть больше 400, то есть 480 — логично. Еще пример: «Один билет стоит 250 руб. Сколько стоят 4 билета?» С = 250 × 4 = 1000 руб. Ошибки тут случаются редко, но иногда забывают умножить именно цену на количество, а не складывают цену несколько раз. Помните: умножение — это и есть многократное сложение.

2) Найти количество, если известны цена и стоимость. Здесь делим общую стоимость на цену за единицу. Пример: «За тетради заплатили 360 руб, цена одной тетради 30 руб. Сколько тетрадей купили?» К = 360 ÷ 30 = 12 тетрадей. Проверка: 12 × 30 = 360 — сходится. Другой пример: «Заплатили 450 руб за апельсины по 90 руб/кг. Сколько килограммов купили?» К = 450 ÷ 90 = 5 кг. Типичная ошибка: делят наоборот (90 ÷ 450). Запомните порядок: если ищем количество, мы как бы спрашиваем «сколько раз цена укладывается в общей сумме?», значит делим стоимость на цену.

3) Найти цену, если известны стоимость и количество. Тут тоже деление, только делим общую стоимость на количество. Пример: «7 тетрадей стоят 210 руб. Сколько стоит одна?» Ц = 210 ÷ 7 = 30 руб. Проверка: 7 × 30 = 210 — верно. Пример посложнее: «За 2,5 кг сыра заплатили 875 руб. Найдите цену за 1 кг». Ц = 875 ÷ 2,5 = 350 руб/кг. Если дроби смущают, можно умножить и делимое, и делитель на 10, чтобы избавиться от запятой: 8750 ÷ 25 = 350. Важно не пугаться десятичных чисел: принцип один и тот же.

Теперь оформим это как универсальные инструкции, чтобы шаги были всегда под рукой:

• Алгоритм «Найти стоимость»: 1) проверьте, что цена дана за 1 единицу; 2) умножьте цену на количество; 3) укажите единицы (рубли); 4) сделайте проверку оценкой «примерно».
• Алгоритм «Найти количество»: 1) проверьте, что цена — за 1 единицу; 2) разделите стоимость на цену; 3) запишите единицы (шт, кг, л); 4) проверьте умножением назад.
• Алгоритм «Найти цену»: 1) разделите стоимость на количество; 2) укажите единицы (руб/шт, руб/кг); 3) проверьте обратным умножением.

Иногда удобнее решать через табличную запись (без настоящей таблицы, просто двумя строками). Пример: «3 кг — 150 руб; 8 кг — ? руб». Мы видим: из 3 кг в 8 кг мы увеличили количество в 8/3 раза. Значит, стоимость тоже умножаем на 8/3: 150 × 8/3 = 400 руб. Если дроби неудобны, делаем двумя шагами: 1) 1 кг — 150 ÷ 3 = 50 руб; 2) 8 кг — 50 × 8 = 400 руб. Такой способ наглядный: сверху пишем количество, снизу — стоимость; ищем «коэффициент перехода» по количеству и применяем его к стоимости.

Чтобы глубже понять пропорции, важно различать «на сколько» и «во сколько раз». Если цена выросла на 10 руб (с 50 до 60), то это изменение на 10. Если цена выросла в 2 раза (с 50 до 100), это совсем другое. Для пропорций по множителю важнее «во сколько раз»: именно этот множитель переносится с количества на стоимость. Например, купили в 4 раза больше товара — платим в 4 раза больше денег при той же цене за 1 единицу.

Иногда встречаются задачи, где общая сумма фиксирована. Тогда связь между ценой и количеством становится обратной: при постоянной сумме чем высше цена, тем меньше можно купить количества. Это проявление обратной пропорциональности. Пример: «У Пети 120 рублей. Сколько шоколадок он купит, если цена 30 руб/шт? А если 40 руб/шт?» При 30 руб/шт К = 120 ÷ 30 = 4 шт; при 40 руб/шт К = 120 ÷ 40 = 3 шт. Видим: цена выше — количество меньше. Формула С = Ц × К остаётся верной: 120 = 30 × 4 и 120 = 40 × 3.

Разберем несколько подробных примеров с пояснениями и проверками.

1. Пример 1 (стоимость): «Клубника стоит 240 руб/кг. Сколько стоят 1,5 кг?» Решение: С = 240 × 1,5. Удобно умножить: 240 × 1 = 240; 240 × 0,5 = 120; вместе 360 руб. Проверка: 1,5 — это полтора килограмма, значит стоимость чуть больше, чем за 1 кг (240 руб), но меньше, чем за 2 кг (480 руб). 360 руб — посередине, подходит.
2. Пример 2 (количество): «На молоко потратили 372 руб, цена 62 руб/л. Сколько литров купили?» К = 372 ÷ 62 = 6 л. Проверка: 62 × 6 = 372 — верно. Мысленная оценка: 60 × 6 = 360, плюс 2 × 6 = 12, всего 372 — сходится.
3. Пример 3 (цена): «За 9 одинаковых маркеров заплатили 585 руб. Найдите цену одного маркера.» Ц = 585 ÷ 9 = 65 руб. Проверка: 65 × 9 = (65 × 10) − 65 = 650 − 65 = 585 — верно.
4. Пример 4 (коэффициент): «4 кг риса стоят 360 руб. Сколько стоят 6 кг?» Увеличили количество в 6/4 = 3/2 раза, значит стоимость умножаем на 3/2: 360 × 3/2 = 540 руб. Или через единичную цену: 360 ÷ 4 = 90 руб/кг; 90 × 6 = 540 руб.
5. Пример 5 (смешанные единицы): «Сыр стоит 640 руб/кг. Сколько стоят 750 г сыра?» Сначала переводим граммы в килограммы: 750 г = 0,75 кг. Теперь С = 640 × 0,75. Умножаем: 640 × 3/4 = 480 руб. Проверка: 0,75 — это три четверти килограмма, значит платим три четверти от 640: 640 ÷ 4 = 160; 160 × 3 = 480 — верно.

Чтобы улучшить точность и избежать типичных ошибок, держите под рукой короткую памятку и перечень распространенных ошибок:

• Памятка: 1) выпишите, что известно, с единицами (цена, количество, стоимость); 2) запишите формулу С = Ц × К; 3) выберите действие (умножаем или делим); 4) посчитайте и укажите единицы; 5) проверьте ответ обратной операцией и оценкой «примерно».
• Частые ошибки: 1) спутали деление со стороны (делят цену на стоимость вместо стоимости на цену); 2) забыли перевести единицы (г и кг, шт и упаковки); 3) перепутали «на сколько» и «во сколько раз»; 4) потеряли ноль при умножении или делении; 5) записали ответ без единиц измерения.

Иногда в задачах появляются дополнительные условия. Например, «цена изменилась» или «количество увеличили в несколько раз». Здесь важно понимать логику пропорции. Если количество увеличили в 3 раза, то при той же цене стоимость увеличится тоже в 3 раза. Если цену уменьшили на 2 рубля, то это уже не «во сколько раз», и прямой перенос множителя не работает — нужно сначала найти новую цену, а затем умножить на количество. То есть когда изменения задаются словом «на», мы сначала выполняем сложение/вычитание, когда «в», мы умножаем или делим.

Для тренировки полезно решать задачи разными способами — через единичную цену и через коэффициент. Это развивает гибкость мышления и помогает быстро находить короткий путь. Например, задача «5 кг по 84 руб/кг; 8 кг — ? руб» решается так: 1) единичная цена дана сразу (84 руб/кг); 2) стоимость 8 кг: 84 × 8 = 672 руб. Или через коэффициент: из 5 кг в 8 кг увеличили в 8/5 раза, значит 5 кг стоят 420 руб (84 × 5), а 8 кг — 420 × 8/5 = 672 руб. Оба способа приводят к одному ответу.

Понимание пропорций помогает не только в «покупках». Аналогично решаются задачи на рецепты (сколько нужно ингредиентов, если увеличить порцию), на расход краски, на расстояние и время при постоянной скорости. Принцип один: если величины связаны прямо (больше одной — больше другой), то они меняются одинаковым множителем. Если величины связаны обратно (при фиксированном произведении), то рост одной ведет к уменьшению другой. В задачах на цену чаще всего работает именно прямая пропорциональность.

Вот небольшая подборка задач для самостоятельной практики с ответами для самопроверки:

1. Цена сахара 78 руб/кг. Сколько стоят 3,5 кг? Ответ: 273 руб (78 × 3,5 = 273).
2. За 6 одинаковых книг заплатили 2 220 руб. Найдите цену одной книги. Ответ: 370 руб (2 220 ÷ 6).
3. За сыр отдали 528 руб при цене 176 руб/кг. Сколько килограммов купили? Ответ: 3 кг (528 ÷ 176).
4. 2 кг винограда стоят 198 руб. Сколько стоят 5 кг? Ответ: 495 руб. Метод единицы: 198 ÷ 2 = 99 руб/кг; 99 × 5 = 495.
5. Сколько шоколадок можно купить на 600 руб, если одна стоит 75 руб? Ответ: 8 шт (600 ÷ 75).

Обратите внимание на проверку разумности ответа. Это простой и надежный инструмент. Пример: если цена около 100 руб/кг и берем около 3 кг, то стоимость ожидается около 300 руб. Если в ответе получилось 3 000 руб или 30 руб — значит, где-то ошибка. Оценка «на глаз» помогает вовремя заметить неверное действие или потерянный ноль.

Итак, ключевые мысли, которые нужно запомнить и уверенно применять: 1) формула С = Ц × К; 2) если ищем стоимость — умножаем, если ищем цену или количество — делим; 3) внимательно работаем с единицами; 4) проверяем ответ обратной операцией и оценкой. Освоив эти нехитрые приемы, вы легко решите любые задачи на цену и количество, поймете суть пропорций и научитесь выбирать самый быстрый способ в каждой конкретной ситуации.