В этом объяснении мы подробно разберём два тесно связанных понятия: распределительный закон умножения и порядок действий. Эти темы очень важны: они помогают правильно и быстро вычислять выражения, делать устный счёт и понимать, почему одни приёмы работают, а другие — нет. Я объясню правило простыми словами, приведу несколько наглядных примеров и дам советы, как применять это знание при решении задач. Всё изложение адаптировано для уровня 4-го класса российской школы, но содержит достаточную глубину, чтобы ребёнок понял логику и научился проверять ответы.

Что такое распределительный закон умножения? Формула выглядит так: a·(b + c) = a·b + a·c. Это значит: если у нас есть число, умноженное на сумму двух слагаемых, то можно сначала умножить это число на каждое слагаемое, а потом сложить полученные произведения. Аналогично с вычитанием: a·(b − c) = a·b − a·c. Это правило часто называют «распределительным», потому что умножение «распределяется» на каждый член суммы (или разности).

Чтобы понять, почему правило верно, представим себе прямоугольник. Его длина равна a, а ширина разделена на две части b и c. Площадь всего прямоугольника равна a·(b + c). Если разделить ширину на две части, то площадь станет суммой площадей двух прямоугольников: a·b и a·c. Получаем наглядное объяснение: a·(b + c) = a·b + a·c. Такой геометрический смысл помогает детям запомнить правило и увидеть его «изнутри».

Примеры и поэтапное решение. Рассмотрим числовой пример: 7·(15 + 5). По порядку действий сначала внутри скобок: 15 + 5 = 20, затем 7·20 = 140. Но применив распределительный закон, можно сделать так: 7·15 + 7·5 = 105 + 35 = 140. Оба способа дают одинаковый ответ. Другой пример с вычитанием: 8·(20 − 3) = 8·20 − 8·3 = 160 − 24 = 136. Проверка: сначала скобки 20 − 3 = 17, затем 8·17 = 136 — результат совпал.

Порядок действий — это правило, которое говорит, в каком порядке выполнять операции в выражении, чтобы получить правильный результат. Его можно сформулировать так: сначала выполняем операции в скобках, затем умножение и деление (слева направо), а потом сложение и вычитание (слева направо). Часто используют сокращённую фразу: «Сначала скобки, потом умножение и деление, затем сложение и вычитание». Если в выражении есть несколько типов операций, сначала всегда разрешаем скобки — внутри них тоже применяем тот же порядок.

Пример для порядка действий: 5 + 3·(10 − 6). Сначала скобки: 10 − 6 = 4. Затем умножение: 3·4 = 12. И в конце сложение: 5 + 12 = 17. Ошибкой было бы сначала сложить 5 + 3 = 8 и получить 8·4 = 32 — поэтому порядок действий важен. Если вы сомневаетесь, можно всегда расставлять скобки так, как хочется вычислять, но помнить, что первоначальные скобки имеют приоритет.

Как сочетать распределительный закон и порядок действий: иногда удобно не вычислять внутри скобок полностью, а раскрыть скобки с помощью распределительного закона, особенно если это упрощает устный счёт. Например, выражение 6·(14 + 6) можно решить двумя путями. Обычный: 14 + 6 = 20, 6·20 = 120. С распределительным законом: 6·14 + 6·6 = 84 + 36 = 120. Или пример для упрощения: 9·(13 + 7) = 9·13 + 9·7 = 117 + 63 = 180. Иногда распределение помогает найти удобные числа (кратные 10, 100), что ускоряет вычисление.

Ещё один полезный приём — обратное применение распределительного закона (вынесение общего множителя): если у вас есть выражение вида a·b + a·c, можно вынести общий множитель a: a·b + a·c = a·(b + c). Это удобно для сокращения длинных выражений или для упрощения вычислений в столбике. Пример: 5·14 + 5·6 = 5·(14 + 6) = 5·20 = 100. Иногда это помогает заметно уменьшить количество операций и предотвратить ошибки.

Ниже приведены несколько типичных ошибок и советы, как их избежать. Во-первых, не забывайте про скобки: если они есть, их нужно вычислять в первую очередь. Во-вторых, не распределяйте умножение через умножение — правило работает только через сумму или разность. В-третьих, если вы видите выражение с несколькими операциями одного уровня (например, умножение и деление), выполняйте их слева направо. Наконец, всегда проверяйте результат, подставляя числа обратно или сравнивая два способа решения: сначала внутри скобок или сначала распределением.

• Совет для устного счёта: разложите неудобное слагаемое на удобные части: 7·27 = 7·(20 + 7) = 7·20 + 7·7 = 140 + 49 = 189.
• Проверьте себя: вычислите выражение двумя способами — через скобки и через распределение — результаты должны совпасть.
• Используйте рисунок: прямоугольник с разделённой шириной отлично иллюстрирует правило.

Практика закрепляет навык. Предлагаю несколько примеров для самостоятельного решения, затем — ответы и пояснения. Решайте, стараясь объяснить каждый шаг, как будто вы учитель, и проверяйте итог с помощью обратного преобразования:

1. 6·(12 + 8)
2. 4·(25 − 9)
3. 9·13 + 9·7 (вынести общий множитель)
4. 5 + 2·(11 + 4)
5. 8·(15 + 5) − 8·3

Ответы и пояснения:

• 1) 6·(12 + 8) = 6·20 = 120 или 6·12 + 6·8 = 72 + 48 = 120.
• 2) 4·(25 − 9) = 4·16 = 64 или 4·25 − 4·9 = 100 − 36 = 64.
• 3) 9·13 + 9·7 = 9·(13 + 7) = 9·20 = 180. Можно проверить отдельно: 117 + 63 = 180.
• 4) 5 + 2·(11 + 4) = 5 + 2·15 = 5 + 30 = 35. Внутри скобок сначала: 11 + 4 = 15; затем умножение; затем сложение.
• 5) 8·(15 + 5) − 8·3 = 8·20 − 8·3 = 160 − 24 = 136. Также можно сначала раскрыть первую скобку: 8·15 + 8·5 − 8·3 = 120 + 40 − 24 = 136.

В заключение: запомните ключевые слова — распределительный закон, скобки, порядок действий, вынесение общего множителя. Эти понятия помогают не только правильно считать, но и лучше понимать структуру выражений. Постоянно тренируйтесь на примерах разной сложности: сначала с целыми числами, затем с более длинными выражениями. Если ребёнок умеет объяснить шаги решения вслух и проверить результат альтернативным способом, значит понимание закреплено надёжно.