Делимость чисел

Введение

Делимость – одно из основных понятий в математике. Оно связано с возможностью разделить число на равные части без остатка. В данной статье мы рассмотрим основные свойства делимости, способы определения делимости чисел и решим задачи на делимость.

Основные свойства делимости

1. Деление с остатком. При делении одного числа на другое может получиться остаток. Например, 12 : 5 = 2 (ост. 2). Это означает, что 12 делится на 5 с остатком 2.
2. Свойства делимости. Если число делится на другое число без остатка, то оно называется кратным этого числа. Например, число 15 кратно числу 3, так как 15 : 3 = 5.
3. Общие делители. Числа, на которые число делится без остатка, называются общими делителями этого числа. Общие делители чисел 12 и 18 – 1, 2, 3, 6.
4. Наибольший общий делитель (НОД). Наибольшим общим делителем двух или более чисел является наибольшее число, на которое эти числа делятся без остатка. Например, НОД (12; 18) = 6.
5. Взаимно простые числа. Числа называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен 1. Например, числа 11 и 14 взаимно просты.
6. Общие кратные. Числа, кратные каждому из данных чисел, называются их общими кратными. Например, общие кратные чисел 3 и 5 – 15, 30, 45 и т.д.
7. Наименьшее общее кратное (НОК). Наименьшим общим кратным двух или более чисел называется наименьшее число, которое делится на каждое из этих чисел без остатка. Например, НОК (3; 5) = 15.
8. Признаки делимости. Существует несколько признаков делимости чисел на различные числа, например:
   • Признак делимости на 2: число делится на 2, если его последняя цифра чётная.
   • Признак делимости на 3: число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.
   • Признак делимости на 4: число делится на 4, если две его последние цифры образуют число, делящееся на 4.
   • Признак делимости на 5: число делится на 5, если его последняя цифра 0 или 5.
   • Признак делимости на 9: число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.

Вопросы:

• Какие свойства делимости вы знаете?
• Что такое общие делители и как их найти?
• Как определить, являются ли два числа взаимно простыми?
• В чём разница между общими делителями и общими кратными?
• Каковы признаки делимости чисел?

Примеры

Пример 1. Определить, делится ли число 81 на 9.Решение:Сумма цифр числа 81 равна 9. Значит, 81 делится на 9 без остатка.

Ответ: 81 делится на 9.

Пример 2. Найти НОД (42; 70).Решение: Разложим числа 42 и 70 на простые множители:42 = 2 3 7.70 = 2 5 7.Общие простые множители чисел: 2 и 7. НОД (42; 70) = 2 * 7 = 14.

Ответ: НОД (42; 70) = 14.

Пример 3. Найти НОК (24; 32).Решение: Разложим числа на простые множители.24 = 2 2 2 3.32 = 2 2 2 2 2.Чтобы определить НОК, необходимо выбрать все простые множители и перемножить их. НОК (24; 32) = 2 2 2 2 2 3 = 48.

Ответ: НОК (24; 32) = 48.

Задачи на делимость

Решим несколько задач на делимость чисел.

Задача 1. Определить, делится ли число 210 на 3?Решение: Сумма цифр числа 210 равна 3. Значит, число делится на 3 без остатка. Ответ: 210 делится на 3.

Задача 2. Найти НОД (60; 42).Решение: Раскладываем числа на простые множители: 60 = 2 2 3 5, 42 = 2 3 7. Общие простые множители – 2 и 3. НОД (60; 42) = 2 3 = 6. Ответ: НОД (60; 42) = 6.

Задача 3. Найти НОК (18; 24).Решение: 18 = 2 3 3, 24 = 2 2 2 3. Выбираем все простые множители, получаем НОК (18; 24) = 2 2 2 3 * 3 = 72. Ответ: НОК (18; 24) = 72.

Таким образом, делимость – это важное понятие в математике, которое позволяет определить, можно ли одно число разделить на другое без остатка. Изучение свойств делимости и умение применять их на практике поможет решать задачи на делимость и находить общие делители, кратные, НОД и НОК чисел.