В пятом классе очень важно понять, что такое натуральные числа и как с ними работают неравенства. Под натуральными числами обычно понимают числа 1, 2, 3, 4, ... (в некоторых учебниках и задачах к ним добавляют 0 — об этом мы также скажем отдельно). Главное — это то, что натуральные числа — это целые положительные числа, которыми можно пересчитать предметы. Понимание порядка и сравнений между такими числами — основа для работы с неравенствами.

Начнём с основных понятий. Неравенство — это выражение вида a < b, a > b, a ≤ b или a ≥ b. Знак < означает «меньше», > — «больше», а знаки ≤ и ≥ означают «меньше или равно» и «больше или равно» соответственно. Удобный инструмент для понимания неравенств — числовая прямая. На ней числа идут в порядке: чем правее число, тем оно больше; чем левее — тем меньше. Если на прямой точка a лежит левее точки b, то a < b.

Свойства неравенств важны для их преобразования и решения. Вот основные правила, которые нужно запомнить и уметь применять:

• Транзитивность: если a < b и b < c, то a < c. Это правило позволяет сравнивать числа по цепочке.
• Сложение (вырезание): если a < b, то a + c < b + c для любого числа c. Прибавление одного и того же числа к обеим частям не меняет знак неравенства.
• Вычитание: из предыдущего следует, что если a < b, то a − c < b − c.
• Умножение на положительное число: если a < b и c > 0, то a·c < b·c. Поскольку натуральные числа положительны, умножение обеих частей на натуральное число сохраняет знак.
• Деление на положительное число: если a < b и c > 0, то a/c < b/c. (В школьных задачах чаще используют умножение и деление на натуральные числа, не делая дробные результаты основной частью.)

Теперь разберёмся с практическими примерами и объясним каждый шаг подробно так, как делает учитель на уроке.

Пример 1. Сравнить числа 456 и 465. Сравнивать большие числа удобно по разрядам. Сначала смотрим на сотни: в обоих числах по 4 сотни, значит переходим к десяткам. У 456 в десятках 5, у 465 — 6. Так как 5 < 6, то 456 < 465. Мы сделали это с помощью правила сравнения по разрядам — самое простое и надёжное.

Пример 2. Решить неравенство для натуральных чисел: x + 7 ≤ 15. Пошаговое решение:

1. Мы хотим найти все натуральные x, для которых сумма с 7 не превышает 15.
2. Отнимем 7 от обеих частей неравенства (это можно делать, потому что вычитание одного и того же числа сохраняет знак): x ≤ 15 − 7.
3. Вычисляем: x ≤ 8.
4. Поскольку x — натуральное число, x может быть 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 или 8. (Если в вашем курсе натуральные числа включают 0, то можно добавить 0.)

Ответ: x ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.

Пример 3. Решить неравенство 3x < 20, x — натуральное. Действуем так:

1. Разделим обе части на 3. Так как 3 > 0, знак не меняется: x < 20/3.
2. 20/3 ≈ 6,666..., значит x должно быть меньше 6,666..., то есть x ≤ 6 при условии натуральности.
3. Перечисляем натуральные значения: 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Ответ: x ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Важно понимать тонкости: при работе с неравенствами нельзя просто делить на переменное, не зная его знака. Но в задачах с натуральными числами знак положительный, поэтому деление и умножение на натуральное число безопасны — знак неравенства не меняется. Если бы переменная могла быть отрицательной, при делении на отрицательное число знак нужно было бы перевернуть.

Ещё полезные приёмы — это преобразования комбинаций неравенств и их сложение. Если известно, что a < b и c < d, то складывая неравенства по частям, получим a + c < b + d. Это следует из того, что прибавление к каждой части сохраняет знак: сначала к a < b прибавляем c, получаем a + c < b + c, затем так как c < d, прибавляем d − c к правой части и получаем a + c < b + d. Практическое применение: если Петя старше Вани, а Катя младше Оли, то сумма возрастов Пети и Кати может быть как больше, так и меньше суммы других — здесь важно следить за направлениями знаков и знаками сравнения.

Разберём часто встречающиеся ошибки и как их избегать:

• Ошибка 1: деление на неизвестное без учёта знака. Решайте такие задачи, уточняя знак переменной.
• Ошибка 2: думать, что при умножении всегда можно поменять знак. Множитель должен быть положительным или отрицательным — в зависимости от этого знак сохраняется или меняется.
• Ошибка 3: путать понятия «меньше» и «меньше или равно». Если число может быть равно границе — используйте знак ≤ или ≥.

Чтобы избежать ошибок, всегда выполняйте операции с обеих сторон неравенства и следите за условиями: чему равен или чему больше ноль множителя или делителя.

Практика закрепляет навыки. Вот несколько упражнений для самостоятельной работы (решения даны, чтобы вы могли проверить себя):

• Упражнение 1: Решите 2x + 5 ≤ 17, x — натуральное. Решение: 2x ≤ 12 → x ≤ 6 → x ∈ {1,2,3,4,5,6}.
• Упражнение 2: Найдите натуральные x, такие что 4x > 15. Решение: x > 15/4 = 3,75 → x ≥ 4 → x ∈ {4,5,6,...}.
• Упражнение 3: Сравните 1002 и 1001. Решение: 1002 > 1001 (сравнение сотен, десятков и единиц; единицы показывают разницу).

Наконец, пара полезных советов и связей с другими темами: знание натуральных чисел и правил работы с неравенствами пригодится при решении задач на дроби, проценты и при начальном знакомстве с уравнениями. Умение представлять числа на числовой прямой развивает интуицию сравнения и помогает при изучении отрицательных чисел позже. Запомните основные правила и потренируйтесь на разных примерах — чем больше упражнений, тем увереннее вы будете справляться с неравенствами.

Если хотите, я могу подготовить дополнительные задания разного уровня сложности с подробными пояснениями и ответами, а также блок упражнений для самостоятельной проверки — это поможет закрепить тему ещё лучше.