Параллелепипед — это трёхмерный геометрический тел, у которого шесть граней, и каждая грань — это параллелограмм. Важные элементы параллелепипеда: ребра, вершины, грани, основание и высота. Для понимания темы нам нужно чётко разделить два понятия: площадь поверхности (иногда говорят общая площадь или суммарная площадь всех граней) и объём (сколько пространства занимает тело). В школьной практике чаще рассматривают два типа параллелепипедов: общий (наклонный) и прямой, в частности прямоугольный параллелепипед (его ещё называют ортогональным или просто "коробкой") и куб (все рёбра равны). Эти частные случаи помогают понять общие формулы.

Начнём с простого и интуитивного правила для объёма: объём любого параллелепипеда равен площади основания, умноженной на высоту, опущенную к этому основанию. Это правило очень похоже на правило объёма призмы: V = Sоснования × h. Здесь основание можно выбрать любое (любая пара противоположных граней), но важно, чтобы высота была перпендикулярна выбранному основанию. Таким образом, чтобы найти объём, достаточно знать площадь одной грани (основания) и перпендикулярную высоту до противоположной грани.

Для прямоугольного (прямого) параллелепипеда формулы особенно просты. Если рёбра, исходящие из одной вершины, имеют длины a, b и c и при этом все углы между рёбрами равны 90°, то:

• объём V = a × b × c;
• площадь поверхности S = 2(ab + ac + bc).

Эти формулы легко запомнить: объём — произведение трёх измерений, площадь поверхности — сумма площадей трёх различных прямоугольников (каждый встречается дважды, поэтому умножаем сумму на 2). Например, если a = 3 см, b = 4 см, c = 5 см, то V = 3·4·5 = 60 см³, а S = 2(3·4 + 3·5 + 4·5) = 2(12 + 15 + 20) = 94 см².

Если основание параллелепипеда — не прямоугольник, а параллелограмм, то площадь основания считается как параллелограмма: Sосн = основание × высота, опущенная на это основание внутри параллелограмма. Для общего наклонного параллелепипеда пусть рёбра из одной вершины имеют длины a, b и c, а между некоторыми рёбрами есть углы; тогда площади трёх различных типов граней равны площади параллелограммов с соответствующими размерами. Формулу объёма в общем виде можно понимать так: V = Sосн × h, где Sосн — площадь выбранного параллелограмма в основании, а h — высота, перпендикулярная этому основанию. Это позволяет работать с любыми параллелепипедами, не требуя прямых углов.

Рассмотрим подробное пошаговое решение двух примеров: один — для прямоугольного параллелепипеда, второй — для наклонного с основанием-параллелограммом.

1. Пример 1 (прямоугольный параллелепипед). Дан параллелепипед с измерениями a = 6 см, b = 2 см, c = 4 см. Найти объём и площадь поверхности.

   Шаг 1. Для объёма используем V = a·b·c = 6·2·4 = 48 см³.

   Шаг 2. Для площади поверхности S = 2(ab + ac + bc) = 2(6·2 + 6·4 + 2·4) = 2(12 + 24 + 8) = 2·44 = 88 см².

   Ответ: V = 48 см³, S = 88 см².

2. Пример 2 (наклонный параллелепипед). Основание — параллелограмм со сторонами 8 см и 5 см, высота внутри параллелограмма, опущенная на сторону 8 см, равна 3 см. Высота параллелепипеда (перпендикуляр к плоскости основания) равна 6 см. Найдите объём и суммарную площадь всех граней.

   Шаг 1. Найдём площадь основания: Sосн = длина основания × высота в параллелограмме = 8 см × 3 см = 24 см².

   Шаг 2. Объём параллелепипеда V = Sосн × h = 24 × 6 = 144 см³.

   Шаг 3. Чтобы найти площадь поверхности, нужно вычислить площади трёх взаимно отличающихся граней (каждая повторяется дважды): грань с размерами 8 и 5 (параллелограмм, но площадь этого параллелограмма равна 8 × высота, опущенная на сторону 8 — уже найдена как 24 при другой высоте; чтобы не запутаться, вычислим отдельно площади): пусть грань A — основание = 24 см²; грань B — параллелограмм со сторонами 8 и высотой, равной высоте параллелепипеда (если она перпендикулярна? В общем случае нужно знать высоты каждого параллелограмма или углы). Для школьных задач чаще даются такие данные, что нужные площади можно найти. В нашем простом примере предположим, что боковые рёбра перпендикулярны к основанию (тогда это прямой параллелепипед с параллелограммом в основании), и боковые грани имеют площадь = длина бокового ребра × соответствующая длина основания (8·6 и 5·6): 8·6 = 48 см² и 5·6 = 30 см². Тогда суммарная площадь S = 2(24 + 48 + 30) = 2·102 = 204 см².

   Ответ: V = 144 см³, S = 204 см² (при условии, что боковые рёбра перпендикулярны основанию).

Важно помнить несколько ключевых моментов и уловок: основание можно выбрать любым — главное правильно определить высоту, перпендикулярную этому основанию; объём не зависит от наклона боковых рёбер, если площадь основания и высота остаются теми же; при работе с параллелограммами вместо вычисления через угол можно использовать длину стороны и соответствующую высоту внутри параллелограмма (Sпараллелограмма = a × ha). Для прямоугольных параллелепипедов углы 90° упрощают расчёты до перемножения рёбер и сумм прямоугольников.

Ещё несколько полезных формул и мыслей для запоминания:

• Объём любой призмы и параллелепипеда: V = Sосн × h.
• Площадь параллелограмма: S = основание × высота (на это основание).
• Для прямоугольного параллелепипеда эти правила приводят к простым формулам V = a·b·c и S = 2(ab + ac + bc).

Эти формулы позволяют быстро решать большинство школьных задач по теме.

Для закрепления предлагаю несколько тренировочных заданий. Попробуйте самостоятельно:

• Задание 1. Прямоугольный параллелепипед с рёбрами 7 см, 3 см и 2 см. Найдите объём и площадь поверхности.
• Задание 2. Параллелепипед имеет основание-параллелограмм со сторонами 10 см и 6 см, высота параллелограмма на сторону 10 см равна 4 см, высота параллелепипеда — 5 см. Найдите объём.
• Задание 3. У наклонного параллелепипеда площадь одной грани равна 20 см², противоположная такая же; площадь другой пары граней 30 см², третьей пары — 24 см². Найдите суммарную площадь поверхности.

Решения к заданиям можно проверить самостоятельно: в 1-м — V = 42 см³, S = 2(7·3 + 7·2 + 3·2) = 2(21 + 14 + 6) = 82 см²; во 2-м — Sосн = 10·4 = 40 см², V = 40·5 = 200 см³; в 3-м — S = 2(20 + 30 + 24) = 148 см².

Совет учителя: всегда начинайте с чертежа и аккуратно подпишите известные длины и высоты. Если не ясно, что есть высота, найдите перпендикуляр от вершины к плоскости основания. Если данные даны через углы, при необходимости используйте свойства параллелограмма (в частности формулу S = a·b·sin(угла) в старших классах), но для 5-го класса чаще дают высоты или прямые углы. Запомните ключевые слова: основание, высота, площадь основания, объём = площадь основания × высота — они помогут быстро сориентироваться в любой задаче по параллелепипедам.