Сравнение чисел и выражений — это базовый навык математики, который помогает уверенно ориентироваться в задачах, проверять вычисления и принимать верные решения. В 5 классе мы уже умеем выполнять действия с натуральными числами, знакомимся с обыкновенными и десятичными дробями, встречаемся с выражениями с переменными. Во всех этих темах очень важно уметь правильно поставить знак сравнения: < (меньше), > (больше), = (равно). Ниже мы подробно разберём, как сравнивать числа и выражения, на что обращать внимание, какие существуют правила и полезные приёмы, и какие ошибки встречаются чаще всего.

Начнём с сравнения натуральных чисел. Здесь действует простое и очень важное правило: чем больше разрядов (количество цифр в записи числа), тем число больше. Например, число 5379 больше числа 984, потому что у него четыре цифры, а у 984 — три. Если разрядов одинаково, сравниваем числа по цифрам слева направо — с разряда тысяч к разряду единиц. Сравним 538 и 482: в сотнях 5 больше 4, значит, 538 > 482. Если первые цифры совпадают, переходим к следующим: например, 478 и 472 — первые две цифры одинаковы (4 сотни и 7 десятков), а в разряде единиц 8 больше 2, следовательно, 478 > 472. Полезно помнить изображение чисел на числовой прямой: число, расположенное правее, всегда больше числа, стоящего левее.

Теперь рассмотрим сравнение десятичных дробей. Алгоритм схож с натуральными числами, но есть тонкость с цифрами после запятой. Во-первых, сравниваем целые части дробей. У кого целая часть больше — та дробь больше. Например, 5,3 и 4,98: 5 > 4, значит, 5,3 > 4,98. Если целые части равны, сравниваем дробные части по цифрам, как обычные числа, дополняя недостающие разряды нулями. Сравним 2,407 и 2,47: целая часть равна (2), сравним дробные: 407 и 470 (дополнили 2,47 до 2,470). Видим, что 407 < 470, значит, 2,407 < 2,47. Важная деталь: добавление нулей в конце десятичной дроби её не меняет (2,5 = 2,50 = 2,500), но помогает наглядно сопоставить разряды.

Перейдём к сравнению обыкновенных дробей. Здесь действуют удобные правила:

• Если знаменатели одинаковы, больше та дробь, у которой больше числитель. Пример: 5/9 и 7/9; так как 7 > 5, то 7/9 > 5/9.
• Если числители одинаковы, больше та дробь, у которой меньше знаменатель (делим на меньшие части — получаем больший кусок). Пример: 3/8 и 3/7; поскольку 1/7 больше, чем 1/8, то 3/7 > 3/8.
• Если разные и числители, и знаменатели, приводим дроби к общему знаменателю или применяем перекрёстное сравнение (без вычисления общего знаменателя): сравнение a/b и c/d сводится к сравнению произведений ad и bc. Пример: сравнить 5/12 и 3/7. Считаем 5×7 = 35 и 3×12 = 36. Так как 35 < 36, имеем 5/12 < 3/7.

Смешанные числа (например, 2 3/5 и 2 2/3) сравниваем сначала по целой части: если целая часть одинаковая, сравниваем дробные части по правилам выше. Для 2 3/5 и 2 2/3: целые части равны, сравним 3/5 и 2/3. Перекрёстно: 3×3 = 9, 2×5 = 10; 9 < 10, значит, 3/5 < 2/3, следовательно, 2 3/5 < 2 2/3.

Чтобы уверенно ставить знаки сравнения, важно знать свойства неравенств (они работают для чисел, с которыми вы уже знакомы):

• Транзитивность: если a > b и b > c, то a > c. Пример: если 25 > 19 и 19 > 10, то 25 > 10.
• Сохранение неравенства при сложении: если a > b, то a + c > b + c (для любого c). Пример: 7 > 3, значит, 7 + 5 > 3 + 5.
• Сохранение неравенства при умножении на положительное число: если a > b и c > 0, то a·c > b·c. Пример: 4 > 2 и 3 > 0, значит, 4·3 > 2·3.
• При делении на положительное число знак сравнения также сохраняется: если a > b и c > 0, то a : c > b : c.

Замечание наперёд: при умножении или делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный. В 5 классе отрицательные числа ещё только упоминаются, но правило важно запомнить на будущее.

Теперь разберёмся, как сравнивать числовые выражения (то есть записи с действиями и скобками): здесь нельзя ставить знак сравнения «на глаз», важно соблюдать порядок действий и аккуратно считать. Сначала вычисляем значения каждого выражения по правилам: сперва действия в скобках, затем умножение и деление слева направо, потом сложение и вычитание. Например, сравнить 18 + 5·4 и (18 + 5)·4. Слева: 5·4 = 20, получаем 18 + 20 = 38. Справа: (18 + 5)·4 = 23·4 = 92. Так как 38 < 92, справедливо 18 + 5·4 < (18 + 5)·4. Это классическая иллюстрация того, как скобки меняют значение выражения.

Иногда можно сравнить выражения без полного вычисления, используя оценку и свойства арифметики. Это особенно полезно в больших числах или когда нужна быстрая прикидка. Примеры:

• Сравнить 48·21 и 50·20. Заметим, что 48 < 50, но 21 > 20. Умножим «в уме»: 48·21 = 48·(20 + 1) = 48·20 + 48 = 960 + 48 = 1008. А 50·20 = 1000. Получилось 1008 > 1000, значит, 48·21 > 50·20. Этот приём опирается на распределительное свойство.
• Сравнить 19·22 и 20·21. Оба произведения близки к 20·21. Заметим: 19·22 = (20 − 1)·(20 + 2) = 20·20 + 40 − 20 − 2 = 400 + 20 − 2 = 418; 20·21 = 420. Следовательно, 19·22 < 20·21.
• Сравнить 999 + 1001 и 2·1000. Слева сумма симметрична вокруг тысячи: 999 + 1001 = 2000, справа 2·1000 = 2000. Значит, выражения равны.

Отдельная ситуация — сравнение выражений с дробями. Здесь важно приводить к удобному виду. Пример: сравнить 1/3 + 1/6 и 1/2. Приводим левую сумму к общему знаменателю: 1/3 = 2/6, значит, 1/3 + 1/6 = 2/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2. Итак, выражения равны. Другой пример: сравнить 5/8 и 0,6. Переведём одно число к виду другого. 0,6 — это 6/10, сократим дробь: 6/10 = 3/5 = 0,6. Сравним 5/8 и 3/5 перекрёстно: 5·5 = 25, 3·8 = 24, значит, 5/8 > 3/5, следовательно, 5/8 > 0,6.

Когда в записи появляются переменные (буквы вместо чисел), мы сравниваем значения выражений при определённых значениях переменных. Например, нужно сравнить 2x + 5 и 2x + 3. Для любого x разность (2x + 5) − (2x + 3) = 2, то есть первое выражение всегда на 2 больше второго. Следовательно, 2x + 5 > 2x + 3 при любом x. Ещё пример: сравнить 3x и 2x. Здесь всё зависит от знака x. Если x > 0, то 3x > 2x, потому что умножение на положительное число сохраняет знак неравенства, а 3 > 2. Если x = 0, оба выражения равны 0. Если x < 0 (это материал следующих классов), то 3x < 2x. В 5 классе чаще всего переменные подставляют конкретными числами из условия, и сравнение сводится к обычным вычислениям.

В практических задачах часто просят вставить знак сравнения или упорядочить набор значений по возрастанию или убыванию. Вот полезный план действий:

1. Определи тип чисел: натуральные, десятичные дроби, обыкновенные дроби, смешанные числа.
2. Приведи записи к сопоставимому виду: для десятичных дробей выровняй количество знаков после запятой; для обыкновенных дробей подбери общий знаменатель; для смешанных чисел сравни сначала целые части.
3. Применяй месторазрядное сравнение для целых и десятичных чисел: сравни по цифрам слева направо.
4. Используй перекрёстное сравнение дробей, если громоздко искать общий знаменатель.
5. Проверяй себя через оценку или сравнение с «круглыми» числами (10, 100, 0,5, 1 и т.д.).

Полезно также уметь отвечать на вопросы вида «на сколько больше» и «во сколько раз больше». Это помогает не только поставить знак, но и описать различие. Если 78 и 65, то 78 больше на 13, потому что 78 − 65 = 13. Если 48 и 12, то 48 больше в 4 раза, так как 48 : 12 = 4. В задачах на сравнение единицы измерения должны быть одинаковыми. Нельзя сравнивать 3 м и 250 см напрямую, пока не приведём к одинаковым единицам: 3 м = 300 см, значит, 300 см > 250 см.

Рассмотрим типичные ошибки и способы их избежать:

• Игнорирование порядка действий. Нельзя сравнивать «по ощущениям», сначала нужно вычислить значения выражений со скобками, умножением и делением.
• Неправильное сравнение десятичных дробей. Ошибка — сравнивать «по длине» дробной части. Правильно — дополнять нулями до одинакового количества знаков после запятой и сравнивать по разрядам.
• Пропуск приведения к общему знаменателю или неверное перекрёстное сравнение. Всегда перепроверяй произведения числителя одной дроби на знаменатель другой.
• Смешение единиц измерения. Всегда переводите величины к одним и тем же единицам: кг в г, м в см, ч в мин и т.п.
• Слишком грубое округление. Оценка полезна, но если числа близкие, лучше выполнить точные вычисления.

Ещё несколько полезных приёмов сравнения, которые ускоряют решение:

• Симметрия относительно «круглого» числа. Если одно число меньше, а другое на столько же больше какого-то «круглого» значения, их сумма равна удвоенному «круглому» числу (пример: 999 + 1001 = 2000), а произведение близко к квадрату этого числа (например, 99·101 = 9999).
• Сокращение дробей перед сравнением уменьшает вычисления. Сравнить 14/21 и 10/15 проще после сокращения: 2/3 и 2/3 — равны.
• Замена на близкие удобные числа для оценки: 49·21 приблизительно равно 50·20 = 1000, значит, точное значение немногим больше 1000; это помогает быстро понять, с каким числом сравнивать.
• Группировка слагаемых в выражениях: (29 + 31) + (48 + 52) = 60 + 100 = 160; видно, что это больше, чем 30 + 30 + 50 + 50 = 160? В данном примере совпало, но группировка позволила быстро посчитать и сравнить с другим вариантом.

В жизни сравнение чисел используется постоянно: цены в магазине, время в расписании, расстояния на карте, результаты соревнований. Если нужно понять, какая скидка выгоднее — 15% на один товар или 10% на два разных — нам помогает сравнение выражений. Если дорога до школы занимает 18 минут, а до секции 1/2 часа, потребуется перевести 1/2 часа в минуты (30 минут) и сравнить: 30 минут > 18 минут — до секции дольше.

Для закрепления рассмотрим несколько наглядных примеров с объяснением хода мыслей:

• Сравнить 607 и 590 + 17. Считаем справа: 590 + 17 = 607. Значит, 607 = 607 — выражения равны.
• Вставить знак: 3,405 … 3,45. Выравниваем дробные части: 3,405 и 3,450. Сравниваем по цифрам: 405 < 450, значит, 3,405 < 3,45.
• Упорядочить по возрастанию: 2/5; 0,38; 3/8. Переведём дроби в десятичные или сравним дробями. 2/5 = 0,4. Десятичные: 0,38; 0,375 (это 3/8); 0,4. По возрастанию: 3/8 (0,375), 0,38, 2/5 (0,4).
• Сравнить (24 + 26)·5 и 25·5·2. Слева: (24 + 26)·5 = 50·5 = 250. Справа: 25·5·2 = (25·2)·5 = 50·5 = 250. Равны.
• Сравнить 7/12 и 5/8. Перекрёстно: 7·8 = 56 и 5·12 = 60. Так как 56 < 60, имеем 7/12 < 5/8.

И напоследок короткий чек-лист для самопроверки при сравнении:

1. Я понимаю, какие числа сравниваю (натуральные, десятичные, дроби, смешанные, значения выражений).
2. Я привёл записи к удобной форме (общий знаменатель, одинаковое число знаков после запятой).
3. Я соблюдаю порядок действий при вычислении выражений со скобками, умножением и делением.
4. Я воспользовался свойствами неравенств и оценкой там, где это ускоряет решение.
5. Я проверил единицы измерения и при необходимости выполнил перевод.
6. Я могу объяснить, почему выбрал именно этот знак (через разницу или через произведение/перекрёстное сравнение).

Освоив эти приёмы, вы без труда поставите нужный знак между любыми числами и аккуратно сравните значения выражений в задачах. Этот навык помогает не только в школе, но и в реальной жизни: оценить затраты, выбрать выгодный вариант, проверить корректность расчётов. Чем чаще вы тренируетесь — тем увереннее и быстрее принимаете решения, видите структуру чисел и чувствуете, где уместна точность, а где достаточно разумной оценки. Практикуйтесь, задавайте вопросы, ищите разные пути сравнения — и математика станет понятнее и интереснее.