Давайте подробно разберём два важных раздела арифметики — степени и дроби — и научимся уверенно сочетать их при решении задач. Начнём с самого простого: что такое степень. Если число a умножить само на себя n раз, то результат записывают как a в степени n. Здесь число a называется основанием, а натуральное число n — показателем степени. Например, 5·5·5 = 5 в степени 3, что записывают как 5³ = 125. Такое сокращённое написание помогает быстро записывать и вычислять многократные умножения. Важно понимать, что степень отражает краткость записи множителей: вместо длинной записи множителей мы показываем, сколько раз число повторяется.

Разберём основные правила работы со степенями, которые пригодятся всегда. Правила можно представить в виде списка, чтобы их было удобно запомнить и применять:

• a^m · a^n = a^(m+n) — если основания одинаковые, показатели складываются. Например, 3²·3³ = 3^(2+3) = 3⁵ = 243.
• (a^m)^n = a^(m·n) — степень степени: показатели перемножаются. Например, (2²)³ = 2^(2·3) = 2⁶ = 64.
• (ab)^n = a^n · b^n — степень произведения равна произведению степеней. Например, (2·3)² = 6² = 36 и 2²·3² = 4·9 = 36.
• a^0 = 1 при a ≠ 0 — любое ненулевое число в нулевой степени равно единице. Пример: 7⁰ = 1.
• a^(-n) = 1 / a^n — отрицательная степень означает обратную дробь. Пример: 2^(-3) = 1/2³ = 1/8.

Эти правила помогут не только упрощать выражения, но и правильно вычислять сложные выражения со степенями.

Теперь перейдём к дробям. Дробь — это запись вида a/b, где a называется числителем, а b — знаменателем (b ≠ 0). Дроби бывают разные: правильные (числитель меньше знаменателя, например 3/4), неправильные (числитель ≥ знаменателя, например 7/4) и смешанные числа (сочетание целой части и дробной, например 1 3/4). Важное умение — переводить смешанные числа в неправильные дроби и обратно. Правило: чтобы превратить смешанное число c a/b в неправильную дробь, умножаем целую часть c на знаменатель b и прибавляем числитель a: (c·b + a)/b. Например, 1 3/4 = (1·4 + 3)/4 = 7/4.

Как выполнять операции с дробями? Для сложения и вычитания дробей нужен общий знаменатель. Если знаменатели одинаковы, можно складывать числители прямо: a/b + c/b = (a+c)/b. Если разные, ищем общий знаменатель (например, наименьшее общее кратное), приводим дроби к общему знаменателю и затем складываем. При умножении дробей всё проще: (a/b) · (c/d) = (a·c)/(b·d). При желании дроби можно сокращать перед умножением: если есть общий множитель в числителе одной дроби и знаменателе другой, его можно разделить на обе части — это называется скрытое сокращение. Деление дробей выполняется умножением на обратную дробь: (a/b) : (c/d) = (a/b) · (d/c).

Теперь объединим понятия: как работают степени дробей и как свойства степеней помогают с дробями. Если нужно возвести дробь в степень n, то степень распространяется и на числитель, и на знаменатель: (a/b)^n = a^n / b^n. Например, (2/3)³ = 2³ / 3³ = 8/27. Это правило следует прямо из определения степени для произведения: дробь — это произведение числителя на обратную дробь знаменателя, поэтому степень применяется ко всем множителям. Также полезно помнить, что отрицательная степень дроби обращает дробь: (a/b)^(-n) = (b/a)^n. Например, (3/4)^(-2) = (4/3)² = 16/9.

Разберём несколько практических задач с подробными шагами, чтобы закрепить материал. Задача 1: упростить выражение (3/4)² · (2/3)². Шаг 1: заметим общий показатель 2, поэтому можно записать выражение как ((3/4)·(2/3))² по правилу (x^n)(y^n) = (xy)^n. Шаг 2: умножаем дроби внутри скобки: (3/4)·(2/3) = (3·2)/(4·3) = 6/12 = 1/2. Шаг 3: возводим в квадрат: (1/2)² = 1/4. Ответ: 1/4. Задача 2: вычислить (1 1/2)². Шаг 1: переводим в неправильную дробь: 1 1/2 = (1·2 + 1)/2 = 3/2. Шаг 2: возводим в степень: (3/2)² = 9/4. Шаг 3: при желании переводим в смешанное число: 9/4 = 2 1/4.

Ещё несколько советов и приёмов, которые облегчат работу. При умножении и делении дробей удобно сокращать до умножения, чтобы избежать больших чисел: например, (14/15) · (25/7) — перед умножением видно, что 14 и 7 имеют общий делитель 7, 25 и 15 имеют общий делитель 5. Сокращаем: (2/15) · (25/1) → (2/3) · (5/1) = 10/3. При возведении в степень больших дробей можно сначала сократить, а затем возводить в степень. Запоминайте порядок действий: скобки → степени → умножение и деление → сложение и вычитание. Это правило особенно важно в выражениях, где одновременно есть обе темы. Наконец, всегда проверяйте результат: можно ли дробь сократить, правильный ли знак, и не забыли ли вы про ограничения (например, знаменатель не может быть нулём).

Подытоживая, ключевые понятия, которые нужно освоить для уверенной работы с степенями и дробями: основание, показатель степени, правильная и неправильная дробь, смешанное число, правила сложения/вычитания и умножения/деления дробей, а также основные свойства степеней. Соединение этих знаний даёт возможность решать как простые, так и более сложные задачи: от вычисления числовых выражений до упрощения алгебраических дробей в дальнейшем. Практикуйтесь на различных числах, используйте сокращение и порядок действий, и через некоторое время всё начнёт получаться быстро и уверенно.