В пятом классе важную часть курса составляют задачи на нахождение долей. Они помогают понять, как устроены дроби, как связаны целое и часть, и как применять эти знания в реальной жизни: при подсчете времени, денег, расстояний, ингредиентов. Главная идея проста: если целое разделить на равные части, то доля — это несколько таких равных частей. Знаменатель показывает, на сколько частей поделили целое, а числитель — сколько частей взяли. Умение находить долю числа и число по его доле — базовая компетенция, которая встречается в текстовых задачах, задачах на проценты и пропорции.

Начнем с понимания: в дроби 3/5 знаменатель 5 означает, что целое делят на 5 равных частей, а числитель 3 показывает, что берут 3 такие части. Поэтому выражение «найти 3/5 от числа» означает «разделить число на 5 и взять 3 раза полученное». Этот подход одинаково работает для любых величин: предметов, рублей, километров, часов, массы, объема. Очень полезно представлять целое в виде отрезка, разбитого на равные части: так вы наглядно видите, сколько частей берется и сколько остается.

Рассмотрим первый тип: нахождение доли числа. Алгоритм решения прост и запоминается надолго. Сначала находим одну часть — то есть делим число на знаменатель дроби, а потом умножаем на числитель. Пример: «Найдите 3/5 от 40». Сначала 40 делим на 5 — это 8 (одна пятая). Затем умножаем 8 на 3 — получаем 24. Значит, 3/5 от 40 равны 24. Можно записывать коротко: 40 × 3/5 = (40 : 5) × 3 = 8 × 3 = 24. Заметьте, что мы всегда начинаем с деления на знаменатель — это защищает от ошибочного умножения «не на то число» и помогает аккуратно работать даже с большими величинами.

Второй тип — нахождение числа по его доле. В таких задачах говорится, что некоторая доля от неизвестного числа уже известна. Например: «3/5 от некоторого числа равны 24. Найдите число». Идем от известной доли к одной части: 24 — это 3 части, значит, одна часть равна 24 : 3 = 8. Теперь восстанавливаем целое: знаменатель показывает, что всего частей 5, следовательно, целое равно 8 × 5 = 40. Важно помнить: сначала делим на числитель (чтобы найти одну часть), затем умножаем на знаменатель (чтобы получить все части). Такой порядок исключает путаницу и облегчает проверку ответа.

Третий распространенный тип — задачи на оставшуюся или израсходованную долю. Например: «Из бочки вылили 2/7 воды. Сколько осталось?» Ответ: осталось 1 − 2/7 = 5/7 бочки. Если требуется найти количество воды, нужно знать объем бочки. Скажем, в бочке было 56 литров. Тогда 1/7 — это 56 : 7 = 8 литров. Осталось 5/7, значит, 8 × 5 = 40 литров. Всегда полезно для таких задач рисовать отрезок «целиком» и заштриховывать израсходованную долю, а затем дополнять до целого, чтобы увидеть оставшуюся часть. Это снижает риск перепутать «сколько потратили» и «сколько осталось».

Четвертый тип — пропорциональное деление, когда нужно разделить сумму по долям или по частям. Допустим, 360 рублей делят между тремя друзьями в отношении 2 : 3 : 1. Складываем части: 2 + 3 + 1 = 6 частей. Одна часть равна 360 : 6 = 60 рублей. Тогда доли: первый получит 2 × 60 = 120 рублей, второй — 3 × 60 = 180 рублей, третий — 1 × 60 = 60 рублей. Если отношение дано в виде дробей, принцип тот же: находите «единичную долю», а затем умножаете на нужное количество частей. Этот же прием работает с любыми величинами — временем, длиной, количеством деталей — и является естественным продолжением задач на доли.

Полезно освоить решения «в два шага» и «в один шаг». «Два шага» — это стандартный алгоритм «делим на знаменатель, умножаем на числитель». «Один шаг» — умножить число на дробь сразу: 84 × 5/7. Можно сократить: 84 : 7 = 12, затем 12 × 5 = 60. Сокращение перед умножением избавляет от больших чисел и экономит время. В текстовых задачах этот прием особенно удобен, потому что позволяет быстро проверить разумность результата и избежать ошибок в промежуточных вычислениях.

Давайте разберем несколько показательных примеров с подробными шагами и краткими пояснениями.

1. Найти долю числа: «Найдите 4/9 от 81». Шаг 1: 81 : 9 = 9 (это одна девятая). Шаг 2: 9 × 4 = 36. Ответ: 36. Проверка здравым смыслом: 4/9 меньше половины, половина от 81 — 40,5, наш ответ 36 близок и меньше — логично.
2. Найти число по его доле: «2/3 некоторой суммы равны 18 рублей. Найдите сумму». Шаг 1: одна часть — 18 : 2 = 9 рублей. Шаг 2: всего частей 3, значит, 9 × 3 = 27 рублей. Проверка: 2/3 от 27 — это 18. Верно.
3. Сколько осталось: «Из 48 кг муки использовали 5/8. Сколько осталось?» Сначала находим использованное: 48 : 8 = 6 кг — это 1/8. Тогда 5/8 — это 6 × 5 = 30 кг. Осталось: 48 − 30 = 18 кг. Можно сразу: осталось 3/8, значит 6 × 3 = 18. Оба пути ведут к одному результату.
4. Пропорциональное деление: «Два мастера поделили 90 деталей по долям 3/5 и 2/5 соответственно. Сколько получил каждый?» Одна пятая: 90 : 5 = 18 деталей. Тогда первый: 18 × 3 = 54, второй: 18 × 2 = 36. Сумма 54 + 36 = 90 — проверка пройдена.
5. Доля от доли: «Найдите 3/4 от 2/3 от 120». Сначала 2/3 от 120: 120 : 3 = 40, 40 × 2 = 80. Затем 3/4 от 80: 80 : 4 = 20, 20 × 3 = 60. Можно короче: 120 × (2/3) × (3/4) = 120 × (2×3)/(3×4). Сокращаем тройки: остается 120 × 2/4 = 120 × 1/2 = 60.

Чтобы решения были уверенными, используйте четкий алгоритм и придерживайтесь порядка действий. Вот удобная памятка для самых частых задач.

• Найти долю числа: раздели число на знаменатель дроби, результат умножь на числитель.
• Найти число по его доле: известную долю раздели на числитель (получишь одну часть), затем умножь на знаменатель (получишь целое).
• Сколько осталось: 1 минус израсходованная доля, затем переведи долю в число, исходя из величины целого.
• Пропорциональное деление: найди сумму частей, вычисли «цену одной части», умножь на количество частей у каждого участника.
• Доля от доли: перемножь дроби, при возможности сократи, затем умножь на исходное число.

Важно осознанно проводить проверку результата. Если вы нашли долю целого, ответ не должен превышать исходное число. Если доля меньше 1/2, результат должен быть меньше половины целого; если больше 1/2 — больше половины. В задачах «число по доле» имеет смысл подставить найденное целое обратно и проверить, что нужная доля совпадает с данными задачи. В задачах с остатком проверьте, что «израсходованное плюс оставшееся» дает целое (в долях это 1, в числах — исходную величину). В пропорциональном делении сумма получившихся частей обязана равняться исходной сумме.

Распространенные затруднения и ошибки хорошо предугадываются. Во-первых, путаница с порядком действий: вместо «разделить на знаменатель, потом умножить на числитель» дети иногда делают наоборот. Лекарство — всегда выделять «одну часть» и действовать от нее. Во-вторых, неверное понимание текста: «израсходовали 3/8» воспринимают как «осталось 3/8». Помогает рисунок-отрезок и проговаривание: «потратили» — значит, «взяли из целого». В-третьих, забывают про единицы измерения: килограммы, минуты, метры — переписывайте их в каждом шаге, чтобы ответ был в правильных единицах. Наконец, иногда ошибаются при сокращении дробей: сокращать можно только общий множитель числителя и знаменателя, а не «скрещенно» без обоснования.

Показатель мастерства — умение решать текстовые задачи на доли разными способами и пояснять каждый шаг. Рассмотрим многозадачный пример. «Турист прошел 2/5 маршрута до обеда и еще 1/4 оставшегося — после. Длина маршрута 60 км. Сколько километров он прошел после обеда?» Решение: до обеда — 2/5 от 60, это 60 : 5 × 2 = 24 км. Осталось 60 − 24 = 36 км. После обеда он прошел 1/4 от оставшихся 36, то есть 36 : 4 = 9 км. Проверим долями: после обеда — это 1/4 от оставшихся 3/5, значит 3/5 × 1/4 = 3/20 целого. 3/20 от 60 — это 60 : 20 × 3 = 9 км. Оба пути приводят к одному ответу — значит, решение надежно.

Еще один практический сюжет — рецепты. «Для пирога используют 3/8 килограмма муки. Сколько муки нужно для 5 таких пирогов? Сколько это от 4 кг мешка?» На один пирог 3/8 кг, на пять — 5 × 3/8 = 15/8 кг = 1 и 7/8 кг. От мешка 4 кг это 1 7/8 из 4 кг, то есть 1 7/8 : 4 = 15/8 : 4 = 15/32 — это доля мешка. Можно также спросить: «Какая часть мешка останется?» Останется 1 − 15/32 = 17/32. Такие задачи учат сочетать доли, смешанные числа и здравый смысл: 1 7/8 — меньше двух килограммов, значит, из 4 кг останется больше половины — действительно, 17/32 больше, чем 1/2? Сравним: 1/2 = 16/32, а 17/32 больше на 1/32 — все сходится.

Когда доли нужно сравнить — «кто сделал большую часть работы: 3/7 или 2/5?» — приводите дроби к общему знаменателю: 3/7 = 15/35, 2/5 = 14/35, значит, 3/7 больше. Это важно в задачах, где нужно решить, чья доля больше, кто получит больше материала или кто быстрее справился с заданием. В реальных задачах часто сравнивают не только доли, но и их числовые значения: «кто выполнил больше деталей, если всего у первого 140 деталей, у второго 100, а их доли 3/7 и 2/5?» Тогда находим конкретные числа: у первого 140 × 3/7 = 60, у второго 100 × 2/5 = 40 — теперь сравнение очевидно.

Связь тем «доли» и «проценты» тоже прозрачна и пригодится в будущем. Процент — это доля со знаменателем 100. Например, 25% — это 25/100 = 1/4. Значит, задача «найти 25% от числа» равносильна «найти 1/4 от числа» — проще и быстрее. Хотя проценты подробно изучаются позже, уже сейчас полезно замечать такие соответствия и применять знакомые приемы для быстрых вычислений.

Чтобы закрепить тему, полезно практиковать разные формулировки заданий, быстро распознавая тип задачи по ключевым словам. «Найдите 3/7 от…» — это нахождение доли числа. «3/7 числа равны…» — это поиск числа по доле. «Потратили/осталось …» — это задачи на дополнение до целого. «Разделили по долям/в отношении…» — пропорциональное деление. «От оставшегося…» — доля от доли. Чем быстрее вы узнаете структуру задачи, тем надежнее выберете верный алгоритм.

Наконец, несколько полезных стратегий для уверенных решений и высоких результатов.

• Всегда начинайте с рисунка или краткой записи: отрезок, подписи «целое», «сколько частей», «сколько взяли».
• Выделяйте глазами «числитель» и «знаменатель» и проговаривайте: «знаменатель — делю, числитель — умножаю».
• Сокращайте дроби до умножения: это экономит время и снижает вероятность ошибок.
• Сохраняйте единицы измерения на каждом шаге: это дисциплинирует и страхует от нелепых ответов.
• Делайте проверку другим способом: через долю от доли, через дополнение до целого, через сравнение с половиной.
• Сомневаетесь в реалистичности ответа — прикиньте пределы: больше или меньше половины, четверти, целого.

Подведем итог. Задачи на нахождение долей сводятся к нескольким надежным приемам: «дели на знаменатель — умножай на числитель», «найди одну часть — восстанови целое», «дополни до единицы», «разбей на части и умножь». Освоив эти схемы, вы без труда решите текстовые задачи на доли, быстро поймете, как делить сумму по долям, как найти остаток, как сравнить доли и как работать с долей от доли. Такая тренировка развивает математическую грамотность, делает вычисления осмысленными и готовит базу для последующих тем — процентов, пропорций, масштабов и уравнений. Практикуйтесь регулярно, применяйте алгоритмы осознанно — и решения станут точными, быстрыми и красивыми.