Числовые выражения — это записи, составленные из чисел, знаков действий и скобок, которые можно вычислить и получить конкретный результат. Примеры: 7 + 3, 18 : (3 + 3), 2 · (15 − 4), 3 в степени 2 + 5. Важно различать: выражение — это то, что мы вычисляем, а равенство — это утверждение о том, что два значения одинаковы, например 18 : (3 + 3) = 3. В курсе 6 класса мы учимся правильно читать и вычислять числовые выражения, понимать порядок выполнения действий, грамотно обращаться со скобками, а также уверенно выполнять сравнение чисел: натуральных, целых, десятичных и дробей. Эти навыки необходимы для решения задач, проверки рассуждений и дальнейшего изучения алгебры.

Первое ключевое правило — порядок выполнения действий. Он един для всех и не зависит от примера: сначала выполняются действия в скобках, затем степени (если они есть), далее умножение и деление слева направо, и только потом сложение и вычитание также слева направо. Например, в выражении 12 : 3 · 2 важно помнить порядок слева направо: сначала 12 : 3 = 4, затем 4 · 2 = 8. Ошибка — сначала перемножить 3 и 2, а потом делить 12 на 6: такой ход нарушает правило и ведет к неверному ответу 2. Еще пример: 5 + 2 · (10 − 4). Сначала вычисляем скобки: 10 − 4 = 6. Затем умножение: 2 · 6 = 12. И только потом сложение: 5 + 12 = 17. Соблюдение порядка действий защищает от типичных ошибок и делает вычисления предсказуемыми.

Скобки — наш инструмент управления порядком действий. Если скобок несколько, то вычисляем их по мере вложенности: сначала самые внутренние, затем внешние. Например, 20 − [6 − (4 − 1)] (квадратные скобки здесь просто для наглядности, по правилам достаточно круглых). Вычисляем внутренние: 4 − 1 = 3. Получаем 20 − (6 − 3) = 20 − 3 = 17. Особое внимание — знаку «минус» перед скобками. Выражение 15 − (7 − 2) нельзя считать «15 − 7 − 2». Нужно сначала вычислить в скобках: 7 − 2 = 5, затем 15 − 5 = 10. А вот если требуется снять скобки без вычислений, пригодится правило: минус перед скобками меняет все знаки внутри на противоположные. Пример: 15 − (7 − 2) равно 15 − 7 + 2 = 10. Это свойство часто используется при упрощении длинных числовых выражений.

Чтобы считать быстрее и надежнее, полезно помнить основные свойства арифметических действий. Для сложения и умножения действуют переместительное и сочетательное свойства: от перестановки слагаемых и множителей сумма и произведение не меняются, и можно группировать числа удобным образом. Например, 27 + 13 + 73 + 87 удобно сложить как (27 + 73) + (13 + 87) = 100 + 100 = 200. Или 25 · 16 + 25 · 4 можно преобразовать с помощью распределительного свойства: общий множитель 25 выносится за скобку, получаем 25 · (16 + 4) = 25 · 20 = 500. Важно помнить: вычитание и деление не обладают этими свойствами, поэтому выражение (100 − 40) − 10 не равно 100 − (40 − 10). В первом случае получим 50, во втором — 70. Аккуратность в применении свойств — гарантия правильного результата.

Работая с целыми числами (положительными и отрицательными), важно понимать роль знака. Модуль числа показывает расстояние от нуля на числовой прямой и всегда неотрицателен: |−7| = 7, |5| = 5. Правила знаков: при умножении и делении двух чисел одинакового знака результат положителен, разных знаков — отрицателен. Например, (−3) · (−4) = 12, а (−18) : 3 = −6. При сложении чисел разного знака сравниваем модули: 7 + (−10) = −3, потому что модуль второго больше, а знак у результата берется от числа с большим модулем. Эти правила пригодятся и для вычислений, и для сравнения чисел.

С десятичными дробями действуют свои удобные приемы. Сложение и вычитание выполняют, выравнивая запятые: 3,75 + 2,4 = 6,15 (2,4 удобно записать как 2,40). Умножая на 10, 100, 1000 и т. п., просто переносим запятую вправо: 4,08 · 100 = 408. Деление на эти числа — перенос запятой влево: 52 : 100 = 0,52. При умножении десятичных дробей считаем произведение без запятой, а затем в ответе отделяем столько знаков после запятой, сколько их было суммарно в множителях: 1,2 · 0,5 = 0,60 = 0,6. Для деления на десятичную дробь умножаем делимое и делитель на одинаковую степень десяти, чтобы делитель стал целым: 7,2 : 0,3 = 72 : 3 = 24. Умение свободно владеть этими операциями позволяет уверенно вычислять сложные числовые выражения с десятичными дробями.

С обыкновенными дробями алгоритм такой. Сложение и вычитание выполняют по общему знаменателю: 3/4 − 2/3 + 1/6. Находим общий знаменатель, удобно взять наименьший общий кратный 4, 3, 6 — это 12. Тогда 3/4 = 9/12, 2/3 = 8/12, 1/6 = 2/12. Получаем 9/12 − 8/12 + 2/12 = 3/12 = 1/4. Умножение дробей проще: перемножаем числители и знаменатели, а перед этим по возможности сокращаем: 15/28 · 14/45. Сокращаем 15 и 45 на 15, получаем 1/3; 14 и 28 на 14, получаем 1/2. Итого 1/2 · 1/3 = 1/6. Деление на дробь заменяется умножением на обратную: 5/6 : 10/9 = 5/6 · 9/10 = 3/4 после сокращений. Эти правила обязательны при вычислении выражений, где встречаются дроби.

Теперь о сравнении чисел. Главное представление — числовая прямая: справа — больше, слева — меньше. Для натуральных чисел (1, 2, 3, …) действует простое правило: больше то, у кого больше разрядов, а при равном числе разрядов сравниваем по цифрам слева направо. Например, 527 > 496, потому что уже в сотнях 5 > 4. Для целых чисел соблюдаем знаки: любое положительное число больше любого отрицательного; из двух отрицательных больше то, у которого модуль меньше: −3 > −7. Для десятичных дробей выравниваем количество знаков после запятой, дописывая нули: 3,50 и 3,5 — одно и то же. Сравниваем сначала целую часть, затем десятичную по цифрам: 3,05 < 3,5, потому что 05 < 50. Для отрицательных десятичных дробей действует обратная логика по модулю: −2,7 < −2,65, потому что 2,7 по модулю больше, а на числовой прямой это левее.

С дробями сравнение строится так. Если знаменатели одинаковы, больше та дробь, у которой числитель больше: 5/12 > 4/12. Если разные — приводим к общему знаменателю или используем «перекрестное умножение»: сравнить a/b и c/d можно, сравнив произведения a · d и c · b (при положительных знаменателях). Например, 7/15 и 3/7: сравниваем 7 · 7 = 49 и 3 · 15 = 45 → 49 > 45, значит 7/15 > 3/7. Для смешанных чисел сначала сравнивают целые части, при равенстве — дробные. Пример: 2 1/5 и 2 0,2. Переведем 0,2 в дробь: 1/5. Получаем равные числа. Если дроби отрицательные, помним: чем больше модуль, тем меньше число; например, −3/4 < −2/3, потому что 3/4 по модулю больше 2/3.

Полезно знать свойства неравенств, чтобы работать с ними уверенно. Если a < b, то:

• Прибавление одного и того же числа сохраняет знак: a + c < b + c.
• Умножение на положительное число сохраняет знак: a · k < b · k при k > 0.
• Умножение на отрицательное число меняет знак на противоположный: a · k > b · k при k < 0.
• Если a < b и b < c, то a < c (свойство транзитивности).

Например, из 4,2 < 5 следует, что 4,2 − 10 < 5 − 10, то есть −5,8 < −5. А если умножить на −1, получим 5,8 > 5 (знак сменился). Эти связи помогают аккуратно преобразовывать сравнения и проверять корректность рассуждений.

Рассмотрим подробные примеры вычислений и сравнения, как это делает учитель на доске шаг за шагом.

1. Вычисление по порядку действий: 48 : 6 · 4 + (3 в степени 2 − 5).
   • Скобки: 3 в степени 2 = 9, 9 − 5 = 4.
   • Действия слева направо: 48 : 6 = 8, затем 8 · 4 = 32.
   • Сложение: 32 + 4 = 36. Ответ: 36.
   Типичная ошибка: сначала перемножать 6 · 4, а потом делить 48 на 24 — так нарушается порядок действий слева направо.
2. Вычисления со скобками и минусом: 15 − (7 − 2) + 3 · (40 − 38).
   • В первых скобках: 7 − 2 = 5, во вторых: 40 − 38 = 2.
   • Получаем: 15 − 5 + 3 · 2 = 15 − 5 + 6.
   • Далее слева направо: 15 − 5 = 10, затем 10 + 6 = 16. Ответ: 16.
   Проверка: если снять скобки правильно, 15 − 7 + 2 + 6 = 16 — совпадает.
3. Упрощение с помощью распределительного свойства: 125 · 48 + 125 · 52.
   • Выносим общий множитель 125: 125 · (48 + 52) = 125 · 100 = 12500.
   • Так считать быстрее и надежнее, чем перемножать по отдельности и складывать результаты.
4. Дроби в одном выражении: 3/4 − 2/3 + 1/6.
   • Общий знаменатель 12: 3/4 = 9/12, 2/3 = 8/12, 1/6 = 2/12.
   • Вычисляем: 9 − 8 + 2 = 3 в числителе, знаменатель 12: 3/12 = 1/4. Ответ: 1/4.
5. Десятичные дроби: 7,2 : 0,3 + 1,5 · 0,4.
   • Деление: 7,2 : 0,3 = 72 : 3 = 24.
   • Умножение: 1,5 · 0,4 = 0,60 = 0,6.
   • Сложение: 24 + 0,6 = 24,6. Ответ: 24,6.
6. Сравнение целых и десятичных:
   • Сравнить 3,05 и 3,5. Выравниваем: 3,05 и 3,50. Сравниваем по цифрам: 05 < 50, значит 3,05 < 3,5.
   • Сравнить −2,7 и −2,65. По модулю 2,70 > 2,65, значит число левее на прямой: −2,7 < −2,65.
7. Сравнение дробей:
   • Сравнить 5/12 и 1/3. Приводим к знаменателю 12: 5/12 и 4/12. Ясно, что 5/12 > 4/12, значит 5/12 > 1/3.
   • Сравнить 7/15 и 3/7 «вперекрест»: 7 · 7 = 49 и 3 · 15 = 45; 49 > 45, значит 7/15 > 3/7.

Частые ошибки и как их избегать:

• Игнорирование порядка действий. Всегда следуйте: скобки → степени → умножение/деление слева направо → сложение/вычитание слева направо.
• Неправильное снятие скобок при минусе: a − (b + c) = a − b − c, a − (b − c) = a − b + c. Следите за каждым знаком.
• Ассоциативность вычитания и деления. Нельзя бездумно переставлять скобки: (a − b) − c ≠ a − (b − c), a : (b : c) ≠ (a : b) : c.
• Сравнение десятичных без выравнивания. Дописывайте нули справа: 2,5 и 2,50 — одинаковые числа, это помогает сравнить поразрядно.
• Сравнение отрицательных чисел по модулю «наоборот»: больше то отрицательное, у которого модуль меньше.
• Сложение и вычитание дробей без общего знаменателя — грубая ошибка. Всегда приводите к общему знаменателю.

Для уверенного владения темой полезны стратегии оценки и проверки. Делайте прикидку результата: 198 + 603 примерно 200 + 600 = 800 — значит ответ ожидается около 800, и точное значение 801 выглядит разумно. Проверяйте себя обратными действиями: после сложения попробуйте вычитание, после умножения — деление. В длинных вычислениях группируйте удобные пары: 49 + 51 = 100, 3,75 + 0,25 = 4. При работе с дробями по возможности сокращайте до начала умножения, а при делении превращайте деление в умножение на обратную дробь. Эти привычки экономят время и снижают вероятность ошибок.

Наконец, связь между числовыми выражениями и сравнением чисел проявляется и в задачах с неравенствами. Если вы получили две числовые части и хотите понять, какая больше, удобнее упростить каждую, а затем сравнить. Пример: сравнить значения выражений A = 2 · (15 − 7) и B = 3 · (10 − 4). Вычисляем: A = 2 · 8 = 16; B = 3 · 6 = 18; значит B > A. Иногда достаточно оценить: 2 · (примерно 8) ≈ 16, 3 · (примерно 6) ≈ 18 — оценка подтверждает вывод. Если же в выражениях встречаются дроби или десятичные дроби, сначала приводим их к удобной форме, а уже затем сравниваем полученные числа по известным правилам.

Итог. Чтобы уверенно владеть темой «Числовые выражения и сравнение чисел», держите в памяти базовые опоры:

• Порядок действий и грамотное использование скобок.
• Свойства сложения и умножения для упрощения, осторожное обращение с вычитанием и делением.
• Правила работы с десятичными и обыкновенными дробями в вычислениях и при сравнении.
• Учет знака и модуля для целых и отрицательных чисел.
• Свойства неравенств и умение дополнять сравнения при одинаковых преобразованиях.
• Оценка результата и проверка обратными действиями.

Регулярная практика, внимательное следование алгоритмам и привычка объяснять каждый шаг вслух — лучшие помощники на пути к точным и аккуратным решениям.