Тема «скорость, время и расстояние» — одна из базовых в курсе математики 6 класса. Она встречается в жизненных ситуациях каждый день: мы идем в школу, автобус едет по маршруту, поезд следует между городами, лодка движется по реке. Умение решать задачи на движение помогает не только на уроках, но и в реальности: оценить, вовремя ли вы успеете, выбрать оптимальный маршрут, проверить, разумны ли расчеты. Важно понять смысл каждой величины: расстояние показывает, какой путь пройден; время — сколько длилось движение; скорость — насколько быстро изменяется пройденный путь. В простейшем случае мы рассматриваем равномерное движение, когда скорость постоянна — это значит, что за равные промежутки времени проходит одинаковое расстояние.

Главные формулы очень просты и логичны. Если движение равномерное, то расстояние обозначим буквой s, скорость — v, время — t. Связь между ними такова: s = v · t. Из этой формулы легко вывести две другие: v = s / t и t = s / v. По сути, это одно и то же отношение, записанное по-разному в зависимости от того, что именно требуется найти. Запомните смысл: если вы знаете, с какой скоростью и сколько времени двигались, то расстояние находится умножением; если известны расстояние и время — делим, чтобы получить скорость; если известны расстояние и скорость — делим, чтобы получить время. Всегда задавайте себе вопрос: «Что дано? Что нужно найти? Какая формула подходит?»

Очень важно правильно работать с единицами измерения. Чаще всего встречаются километры и часы (км и ч), иногда — метры и секунды (м и с), реже — минуты. Полезно помнить: 1 км = 1000 м; 1 ч = 60 мин = 3600 с. Для скорости используют км/ч или м/с. Между ними есть удобные коэффициенты перевода: чтобы перевести км/ч в м/с, умножьте на 1000 и разделите на 3600 — это то же самое, что умножить на 5/18. Обратно, из м/с в км/ч — умножьте на 18/5. Примеры: 72 км/ч = 72 · 5/18 = 20 м/с; 10 м/с = 10 · 18/5 = 36 км/ч. Частая ошибка — перемножить не приведя единицы к одной системе: например, скорость в км/ч, а время в минутах. Исправление простое: сначала переведите минуты в часы (15 мин = 0,25 ч), или наоборот, приведите все к секундам и метрам. Единицы — «язык» задачи; если язык смешать, ответ будет неверным, даже если формула выбрана правильно.

Рассмотрим несколько базовых примеров решения, пошагово, как на уроке. 1) Найти расстояние. Пример: велосипедист ехал со скоростью 16 км/ч в течение 3 ч. Составим план: а) выписать данные: v = 16 км/ч, t = 3 ч; б) единицы согласованы — можно считать; в) применяем формулу s = v · t; г) считаем: s = 16 · 3 = 48 км; д) делаем проверку: при такой скорости за 1 час — 16 км, за 3 часа — 48 км, логично. 2) Найти скорость. Пример: автобус прошел 150 км за 2,5 ч. Данные: s = 150 км, t = 2,5 ч. Формула: v = s / t; счет: 150 / 2,5 = 60 км/ч. Проверка здравым смыслом: за 1 ч — 60 км, значит за 2,5 ч — 150 км, сходится. 3) Найти время. Пример: пешеход прошел 12 км со скоростью 4 км/ч. Формула: t = s / v; 12 / 4 = 3 ч. Проверка: с такой скоростью за 3 часа получится 12 км, правильно. Обратите внимание на метод проверки: быстро умножаем назад, чтобы убедиться, что не перепутали деление и умножение.

Для текстовых задач очень удобно использовать таблицу «скорость — время — расстояние». Она дисциплинирует решение и помогает не потеряться. В ней три столбца: v, t, s. Для одного участника — одна строка, для двух участников — две строки и так далее. Тогда любой процесс легко описать численно. Простой пример: два пешехода идут из одного пункта в противоположных направлениях. Первая строка: v1, t, s1; вторая строка: v2, t, s2. Важно заметить, что если начали одновременно, то время движения у обоих совпадает. Если требуется момент встречи, мы анализируем сумму или разность пройденных путей. Такой способ помогает и в сложных задачах, где есть «старт с опозданием» или «остановка на стоянку»: в таблице удобно разбивать движение на отрезки и каждому отрезку соответствуют свои v, t, s.

Одна из ключевых идей — относительная скорость. При встречном движении (навстречу друг другу) относительная скорость равна сумме скоростей: vотн = v1 + v2. Смысл: каждый приближает встречу своим движением, поэтому расстояние между ними сокращается быстрее. Пример: два поезда вышли навстречу из городов А и Б, расстояние между городами 300 км. Скорости: 70 км/ч и 80 км/ч. Относительная скорость: 70 + 80 = 150 км/ч. Время до встречи: t = s / v = 300 / 150 = 2 ч. Расстояние, пройденное первым поездом: s1 = 70 · 2 = 140 км; вторым: s2 = 80 · 2 = 160 км; сумма 140 + 160 = 300 км — проверка сошлась. Типичные ошибки в таких задачах: не забыть привести все единицы к одним и тем же (например, если расстояние в метрах, а скорость в км/ч, обязательно перевести либо километры в метры, либо скорость в м/с).

При движении в одном направлении (догонка) работает разность скоростей: относительная скорость равна vотн = vбыстрого − vмедленного. Если объекты стартуют одновременно, то время догонки равно общему отставанию по расстоянию, деленному на относительную скорость. Пример: автомобиль едет 90 км/ч, а впереди едет грузовик 60 км/ч. Расстояние между ними — 6 км. Относительная скорость: 90 − 60 = 30 км/ч. Время догонки: t = 6 / 30 = 0,2 ч = 12 мин. Проверка: за 12 минут автомобиль пройдет 18 км, грузовик — 12 км; разница 6 км — как раз исходный разрыв. Если один участник стартует с опозданием, это удобно учесть через «лишнее расстояние», которое успел пройти первый. Пример: велосипедист А выехал в 9:00 со скоростью 16 км/ч, велосипедист Б выехал в 9:30 со скоростью 20 км/ч. За полчаса А успел пройти s = 16 · 0,5 = 8 км. Теперь задача сводится к догонке: относительная скорость 20 − 16 = 4 км/ч, время от момента старта Б: t = 8 / 4 = 2 ч; догонит в 11:30. Отметим, что такие рассуждения безопаснее, чем попытка угадать формулу: всегда вычисляйте отставание и делите на относительную скорость.

Отдельно нужно обсудить среднюю скорость. Это не «среднее арифметическое» скоростей, если времена или расстояния по участкам различны. Правильное определение: средняя скорость равна общему пройденному расстоянию, деленному на общее время движения: vср = Sобщ / Tобщ. Например, туда ехали со скоростью 60 км/ч, обратно — 40 км/ч, расстояние туда и обратно одинаковое, по 120 км. Общее расстояние: 240 км. Время туда: 120 / 60 = 2 ч; обратно: 120 / 40 = 3 ч; всего 5 ч. Средняя скорость: 240 / 5 = 48 км/ч. Видно, что 48 — не среднее арифметическое (не 50). Ошибка «взять (60 + 40)/2» встречается часто, ее легко обнаружить проверкой времени: если бы средняя была 50 км/ч, путь 240 км занял бы 4,8 ч, но по расчету вышло 5 ч — противоречие. Запомните правило: средняя скорость — это «всего путь» делить на «всего время», и только так.

Задачи на движение по реке связаны с понятием скорость течения. Если лодка в стоячей воде имеет собственную скорость vл, а течение реки — vтеч, то по течению скорость относительно берега равна vпо = vл + vтеч, а против течения — vпр = vл − vтеч. Пример: лодка в тихой воде идет 12 км/ч, течение — 3 км/ч. По течению: 12 + 3 = 15 км/ч; против течения: 12 − 3 = 9 км/ч. Если расстояние до пункта по реке 27 км, то вниз по течению время составит t = 27 / 15 = 1,8 ч = 1 ч 48 мин, а вверх — t = 27 / 9 = 3 ч. Обратите внимание: если в задаче говорится, что туда и обратно прошли за одинаковое время, это означает равенство времен tтуда = tобратно, из чего можно составить уравнение на скорости, или если указаны скорости зависимо от течения — найти vл и vтеч. Всегда начинайте с таблицы: строка «по течению», строка «против течения», столбцы v, t, s — и заполняйте известные величины.

Полезно уметь решать задачи с составным движением, где скорость меняется по отрезкам. Общий принцип: разбивайте путь на части, для каждой используйте формулу s = v · t или ее варианты, затем складывайте времена или расстояния. Пример: пешеход 30 минут шел со скоростью 4 км/ч, затем 1 ч 15 мин со скоростью 5 км/ч. Сначала приведем единицы: 30 мин = 0,5 ч; 1 ч 15 мин = 1,25 ч. Путь на первом участке: 4 · 0,5 = 2 км; на втором: 5 · 1,25 = 6,25 км; всего 8,25 км. Общее время: 0,5 + 1,25 = 1,75 ч. Средняя скорость по всему пути: 8,25 / 1,75 ≈ 4,71 км/ч. В задачах «часть пути пешком, часть — на автобусе» алгоритм тот же, но помните, что складывать нужно одинаковые величины: либо складываем расстояния, либо времена; скорости напрямую не складываются по участкам.

Для уверенного решения удобно придерживаться четкого алгоритма. Рекомендуемый порядок действий:

1. Внимательно прочитайте условие, выделите, что является расстоянием, временем, скоростью.
2. Запишите данные кратко (лучше в виде таблицы v–t–s), отметьте, что требуется найти.
3. Приведите все единицы измерения к единому виду (км и ч, либо м и с).
4. Определите тип движения: равномерное, встречное, догонка, по течению/против течения, с остановками или сменой скорости.
5. Выберите подходящую формулу: s = v · t, v = s / t, t = s / v; при необходимости используйте относительную скорость.
6. Составьте уравнение или подряд вычислите недостающие величины по таблице.
7. Выполните вычисления аккуратно, укажите ответ с единицами.
8. Сделайте проверку: прикините разумность результата и при необходимости пересчитайте обратным действием.

Часто задачи проясняются, если представить график зависимости пути от времени (хотя на уроке математики 6 класса график можно мысленно описать словами). При равномерном движении это прямая линия: наклон линии отражает скорость. Если скорости двух объектов заданы, то точка пересечения графиков показывает момент встречи. Знание этого помогает логически понять, почему при встречном движении мы складываем скорости (наклоны складываются относительно сокращения расстояния), а при догонке — берем разность. Даже без построения графика такое представление помогает избежать ошибок и лучше видеть структуру решения.

Давайте разберем типичные ошибки и приемы самопроверки, которые экономят время и повышают точность.

• Смешение единиц: скорость в км/ч, расстояние в метрах. Прием: первым шагом подчеркивайте все единицы и переводите сразу.
• Неправильная «средняя скорость»: взяли среднее арифметическое вместо Sобщ/Tобщ. Прием: найдите общее время — это автоматически даст корректный ответ.
• Путают сумму и разность скоростей: в догонке складывают скорости, из-за чего время догонки получается слишком маленьким. Прием: проговорите смысл — «расстояние между ними сокращается на сколько? На то, насколько быстрее один, чем другой».
• Забывают про опоздание старта или остановки. Прием: рисуйте временную линию или в таблице добавляйте отдельный участок с нулевой скоростью (ожидание) и считаете путь за это время.
• Записывают ответ без единиц. Прием: после числа ставьте «км», «ч», «мин» — это дисциплинирует и выявляет нелепицы (например, 150 «ч» вместо «км»).
• Не делают проверку. Прием: умножьте обратно или оцените результат: «мог ли пешеход пройти 120 км за 30 минут?» — очевидно, нет.

Вот еще несколько наглядных примеров, где полезно увидеть полный ход рассуждений. Пример 1 (встречное движение с временем в минутах): Два пешехода вышли навстречу из пунктов, расстояние между которыми 12 км. Скорости: 4 км/ч и 2 км/ч. Через сколько минут они встретятся? Таблица: v1 = 4, v2 = 2; vотн = 6 км/ч. Время до встречи: t = 12 / 6 = 2 ч = 120 мин. Проверка: за 2 часа первый пройдет 8 км, второй — 4 км, всего 12 км. Пример 2 (догонка с опозданием): Первый автобус выехал в 8:00 со скоростью 54 км/ч. Второй выехал из того же пункта в 9:20 со скоростью 72 км/ч. Сколько времени второму нужно, чтобы догнать первый? За 1 ч 20 мин (это 4/3 ч) первый прошел 54 · 4/3 = 72 км. Относительная скорость 72 − 54 = 18 км/ч. Время догонки от 9:20: t = 72 / 18 = 4 ч. Значит, догонит в 13:20. Пример 3 (река): По течению лодка проходит 24 км за 1,2 ч, против течения — 18 км за 1,5 ч. Найдите скорость течения и собственную скорость лодки. Сначала найдем скорости участков: vпо = 24 / 1,2 = 20 км/ч, vпр = 18 / 1,5 = 12 км/ч. Тогда система: vл + vтеч = 20, vл − vтеч = 12. Складываем: 2vл = 32 → vл = 16 км/ч; вычитаем: 2vтеч = 8 → vтеч = 4 км/ч. Проверка: 16 ± 4 дает исходные скорости 20 и 12.

Наконец, несколько полезных «фишек памяти». Чтобы запомнить формулы, представьте «треугольник» s–v–t: наверху s, внизу v и t. Если закрыть букву, которую нужно найти, оставшиеся расположатся так, чтобы было понятно действие: s над v и t — значит умножение; v — это s над t — деление; t — это s над v — деление. Для перевода км/ч ↔ м/с держите в голове числа 3,6 и 0,277…: умножение на 3,6 переводит м/с в км/ч, умножение на 0,277… (то есть 5/18) переводит км/ч в м/с. Для «встречного» всегда проверяйте: если оба стоят, встреча не случится; если оба идут навстречу, время должно уменьшаться — значит скорости складываются. Для «догонки»: если скорости равны, догонка невозможна; если быстрее позади — догонка возможна, и чем больше разница скоростей, тем быстрее догонит.

Итоговые выводы, которые стоит запомнить и применять. 1) При равномерном движении три величины связаны формулами s = v · t, v = s / t, t = s / v. 2) Всегда приводите единицы к единому виду. 3) Для задач на встречное движение используйте сумму скоростей; для задач на догонку — разность скоростей. 4) Средняя скорость рассчитывается как общий путь, деленный на общее время. 5) В задачах по реке: по течению — «плюс» течение, против — «минус» течение. 6) Работайте через таблицу v–t–s, это снижает риск ошибок. 7) Проверяйте ответы оценкой и обратным действием. Эти принципы создают надежный фундамент, и тогда любая задача на движение превращается в последовательность ясных шагов, а не в угадывание формул.