В пространстве мы работаем с трехмерной системой координат, поэтому первым делом запомним, что каждая точка задается тройкой чисел: координаты точек имеют вид (x, y, z). Эти числа показывают, на сколько единиц точка отстоит от плоскостей и осей: x — смещение вдоль оси Ox, y — вдоль Oy, z — вдоль Oz. Точка (0, 0, 0) — это начало координат или «происхождение», от которого отмеряются все остальные расстояния. Важно понимать, что в задачах на координаты в пространстве мы часто опираемся на проекции точки на координатные плоскости: проекция точки (x, y, z) на плоскость Oxy имеет координаты (x, y, 0) и т. д.

Чтобы изобразить точку в пространстве, полезно применять приём с тремя движениями по осям: 1) отойдите на x единиц вдоль Ox, 2) затем на y единиц вдоль Oy, 3) потом вверх или вниз на z единиц вдоль Oz. Такой пошаговый подход помогает учащимся представить положение точки и понять, почему координаты соответствуют расстояниям до плоскостей. При этом знак координаты показывает направление: положительная x — вправо, отрицательная — влево; положительная z — вверх, отрицательная — вниз.

Одно из ключевых правил при работе с отрезками в пространстве — это использование формулы расстояния между точками. Если заданы точки A(x1, y1, z1) и B(x2, y2, z2), то длина отрезка AB равна квадратному корню из суммы квадратов разностей координат: sqrt((x2 − x1)^2 + (y2 − y1)^2 + (z2 − z1)^2). Эта формула получается из многократного применения теоремы Пифагора: сначала находим горизонтальную проекцию отрезка в плоскости Oxy, затем с её помощью и разностью z получаем треугольник, у которого гипотенузой будет искомый отрезок.

Рассмотрим подробный пример: даны A(1, 2, 3) и B(4, 6, 9). Шаг 1: находим разности координат: Δx = 4 − 1 = 3, Δy = 6 − 2 = 4, Δz = 9 − 3 = 6. Шаг 2: применяем формулу: AB = sqrt(3^2 + 4^2 + 6^2) = sqrt(9 + 16 + 36) = sqrt(61). Записывая каждый шаг и поясняя, откуда берутся квадраты и почему берём суммарный квадратный корень, ученик закрепляет идею, что расстояния в пространстве складываются по теореме Пифагора в трёх измерениях. Стоит отметить, что если одна из разностей равна нулю (например, z1 = z2), то задача сводится к двумерной ситуации.

Ещё одно важное понятие — середина отрезка. Координаты середины отрезка между A(x1, y1, z1) и B(x2, y2, z2) вычисляются по простой формуле: ((x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2, (z1 + z2)/2). Это легко вывести, если представить середину как усреднение по каждому направлению: по оси Ox середина отстоит на (x1 + x2)/2 от начала, и так далее по другим осям. Пример: середина отрезка между A(1, 2, 3) и B(4, 6, 9) имеет координаты ((1+4)/2, (2+6)/2, (3+9)/2) = (2.5, 4, 6).

Практические приёмы: часто в задачах проще рассматривать проекции отрезка на координатные оси и плоскости. Так, длина проекции отрезка AB на ось Ox равна |x2 − x1|, на Oy — |y2 − y1|, на Oz — |z2 − z1|. Длина отрезка, параллельного одной из осей, равна абсолютной разности соответствующих координат. Например, если C(2, 5, 7) и D(2, 5, 10), то CD = |10 − 7| = 3, потому что C и D имеют одинаковые x и y, значит отрезок направлен вдоль оси Oz. Это полезно при проверке результата: если рассчитанная длина не совпадает с очевидной разностью при параллельности оси, значит, скорее всего, допущена ошибка в вычислениях.

Есть ещё несколько полезных фактов, которые стоит запомнить как школьнику и как подготовке к олимпиаде: 1) расстояние от точки (x, y, z) до плоскости Oxy равно |z|, потому что это вертикальная высота; 2) расстояние от точки до оси Ox равно sqrt(y^2 + z^2), так как отрезок до оси перпендикулярен оси и его проекции на Oy и Oz дают прямоугольный треугольник; 3) вектор AB можно представить как (x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1), и его длина совпадает с формулой расстояния выше. Эти наблюдения ускоряют решение задач, позволяя переводить геометрию в алгебру и обратно.

Ниже приведены практические советы для успешного решения заданий по теме: рисуйте чертежи и отмечайте проекции точки, пронумеруйте шаги вычислений, проверяйте единицы измерения и знак разностей; при длинных вычислениях считая квадраты, сначала приводите выражения под корнем к простейшему виду и только затем извлекайте корень; используйте симметрию и специальные случаи (параллельность осям, совпадение координат), чтобы упростить задачу. Также полезно потренироваться на нескольких примерах, меняя лишь одну координату — это формирует интуицию, как координаты влияют на положение точки и длину отрезков.

Наконец, небольшое расширение темы: понятия, которые вы изучаете сейчас, являются основой для следующих разделов: уравнение прямой и плоскости в пространстве, векторы и скалярное произведение, углы между векторами и расстояние от точки до произвольной плоскости. Освоив навыки работы с координатами точек и вычислением длин отрезков в пространстве, вы будете готовы перейти к этим более сложным темам. Регулярно практикуйтесь, решая как простые, так и комбинированные задачи — это лучший путь к прочному пониманию.