Понимание приоритета операций — одна из основных и очень полезных тем в школьной математике. Правильное выполнение действий в выражениях зависит не только от умения складывать или умножать, но и от знания, какие операции выполняются раньше, а какие — позже. Если игнорировать порядок действий, можно получить неправильный результат даже в самых простых примерах. В этом тексте я подробно объясню, какие правила действуют, приведу практические примеры с пошаговым разбором, укажу типичные ошибки и дам рекомендации, как проверять вычисления.

Начнём с понятия: под порядком действий понимается последовательность, в которой выполняются операции в математическом выражении. Эта последовательность определяется общепринятыми правилами, которые позволяют однозначно интерпретировать любое выражение. Для удобства запомним базовый список приоритетов от самого высокого к самому низкому:

• скобки (включая круглые (), квадратные [] и фигурные {});
• возведение в степень и извлечение корня;
• умножение и деление (имеют одинаковый приоритет, выполняются слева направо);
• сложение и вычитание (также одинаковый приоритет, выполняются слева направо).

Рассмотрим эти правила подробнее. Первое и самое главное — скобки всегда меняют порядок действий: всё, что находится в скобках, вычисляется раньше остального. Если скобок несколько и они вложены, сначала выполняют самые внутренние. Пример: в выражении (2 + (3 × 4)) − 5 сначала считается 3 × 4 = 12, затем 2 + 12 = 14, и в конце 14 − 5 = 9. Обратите внимание: скобки могут быть разных видов, но по смыслу они равнозначны; удобно использовать разные виды, чтобы не путаться в вложенности.

Второе — возведение в степень и извлечение корня. Эти операции выполняются раньше умножения и деления. Пример: 2 × 3^2 = 2 × 9 = 18. Здесь сначала возводим 3 в квадрат, затем умножаем на 2. Заметьте интересный момент с отрицательными числами и степенями: запись −3^2 обычно в математике понимают как −(3^2) = −9, потому что операция возведения в степень выполняется до унарного минуса. Если же требуется возвести в квадрат число −3, нужно взять скобки: (−3)^2 = 9.

Третье — умножение и деление имеют одинаковый приоритет. В выражении, где встречаются и умножение, и деление без скобок, выполняют эти действия по очереди слева направо. Это важное правило: 24 ÷ 6 × 3 = (24 ÷ 6) × 3 = 4 × 3 = 12, а не 24 ÷ (6 × 3) = 24 ÷ 18 = 1{,}333.... Аналогично: 8 × 2 ÷ 4 = (8 × 2) ÷ 4 = 16 ÷ 4 = 4. Поэтому при проверке ответов всегда следите на направление выполнения операций.

Четвёртое — сложение и вычитание. Они тоже равноправны между собой и выполняются слева направо. Например: 10 − 3 + 2 = (10 − 3) + 2 = 9, а не 10 − (3 + 2) = 5. Если в выражении присутствуют одновременно умножение и сложение, то умножение выполняют раньше: 2 + 3 × 4 = 2 + 12 = 14.

Чтобы лучше усвоить правило, давайте разберём несколько подробных примеров шаг за шагом и отметим рассуждения учителя.

1. Пример 1: 5 + 2 × (3^2 − 1).

   Шаг 1. В скобках выполняем операции: внутри скобок есть возведение в степень и вычитание; сначала возводим в степень: 3^2 = 9.

   Шаг 2. Теперь внутри скобок: 9 − 1 = 8.

   Шаг 3. Возвращаемся к выражению: 5 + 2 × 8.

   Шаг 4. Умножение выполняется раньше сложения: 2 × 8 = 16.

   Шаг 5. Складываем: 5 + 16 = 21. Итого ответ: 21.

2. Пример 2: 18 ÷ (3 × 2) + 4.

   Шаг 1. Сначала скобки: 3 × 2 = 6.

   Шаг 2. Выражение становится 18 ÷ 6 + 4.

   Шаг 3. Выполняем деление перед сложением: 18 ÷ 6 = 3.

   Шаг 4. Складываем: 3 + 4 = 7. Ответ: 7.

3. Пример 3: −2^3 + (−2)^3.

   Шаг 1. Разберём первую часть: −2^3 = −(2^3) = −8 (потому что степень выполняется до унарного минуса).

   Шаг 2. Вторая часть: (−2)^3 = −8 (здесь скобки означают, что возводится в степень само отрицательное число).

   Шаг 3. Складываем: −8 + (−8) = −16. Ответ: −16.

4. Пример 4: 6 − 4 ÷ 2 × 3.

   Шаг 1. Умножение и деление выполняем слева направо: сначала 4 ÷ 2 = 2.

   Шаг 2. Затем 2 × 3 = 6.

   Шаг 3. Теперь 6 − 6 = 0. Ответ: 0.

Полезные советы и замечания для школьника:

• Используйте скобки, чтобы явно указать нужный порядок действий. Если вы хотите, чтобы выражение считалось не по стандартным правилам, обрамите нужную часть скобками.
• Читать выражение слева направо — хорошая привычка при выполнении операций одинакового приоритета (умножение/деление или сложение/вычитание).
• Записывайте промежуточные шаги. Даже если вы умеете считать в уме, запись порядка действий убережёт от ошибок и поможет объяснить решение учителю.
• Будьте внимательны с унарным минусом (отрицательными числами) и степенями: −3^2 = −9, но (−3)^2 = 9.
• Проверяйте результат