В повседневной жизни очень часто встречаются задачи с процентами и с вычислением сдачи — при оплате покупок, при расчётах скидок, наценок, налогов и т.д. Чтобы уверенно решать такие задачи, важно понять, что такое процент и как с ним работать. Процент — это сотая часть целого: 1% = 1/100. Любой процент удобнее переводить в десятичную дробь: p% = p/100. Этот простой переход — ключ к быстрым и точным вычислениям.

Первый пошаговый приём: перевод процентов в дробь или десятичную дробь и умножение. Если нужно найти p% от числа A, мы переводим p% в десятичную дробь (p/100) и умножаем: p% от A = A · (p/100). Например, 20% от 350 = 350 · 0,20 = 70. Этот приём применяется повсеместно: при вычислении скидки, налога, прибыли.

Вторая важная формула — расчёт цены после скидки или наценки. Если товар стоит A и на него действует скидка p%, то новая цена равна A · (1 − p/100). Если же цена увеличилась на p%, то новая цена = A · (1 + p/100). Пример: товар 2500 руб., скидка 20% → цена после скидки = 2500 · (1 − 0,20) = 2500 · 0,80 = 2000 руб. Эти формулы позволяют быстро находить итоговую сумму, которую покупатель должен заплатить.

Теперь подробно разберём шаги решения задач на нахождение сдачи. Обычно задача формулируется так: известна цена покупки (возможно с процентной скидкой или наценкой), известно, чем платит покупатель (банкноты или сумма наличных), нужно найти сдачу. Алгоритм всегда один и тот же:

• Шаг 1: Найдите итоговую сумму покупки. Если есть проценты (скидка/наценка), сначала примените формулу: итог = цена · (1 ± p/100).
• Шаг 2: Если покупка состоит из нескольких товаров, суммируйте цены или сначала суммируйте, затем примените процент ко всей сумме — в зависимости от условий.
• Шаг 3: Вычтите из суммы, которой платит покупатель, итоговую сумму покупки: сдача = выплачено − итог.
• Шаг 4: Проверьте корректность (положительная сдача, округления до копеек при денежных расчётах).

Разберём несколько подробных примеров, показывающих все этапы: Пример 1. Товар стоит 2500 руб., скидка 20%. Покупатель платит купюрой 5000 руб. Сколько сдачи? Решение: переводим скидку в дробь 20% = 0,20. Цена после скидки = 2500 · (1 − 0,20) = 2500 · 0,80 = 2000 руб. Сдача = 5000 − 2000 = 3000 руб. Важно: сначала вычисляем реальную сумму к оплате, затем отнимаем её от суммы, которой платят.

Пример 2. В магазине два товара: 1) 430 руб., 2) 670 руб. На всю покупку действует скидка 15%. Покупатель платит 1200 руб. Найти сдачу. Решение: суммарная цена = 430 + 670 = 1100 руб. Скидка 15% = 0,15. Итоговая сумма = 1100 · (1 − 0,15) = 1100 · 0,85 = 935 руб. Сдача = 1200 − 935 = 265 руб. Заметьте: скидку можно применять к сумме, это часто проще, чем считать скидку отдельно на каждый товар.

Пример 3 (на обратный расчёт). После скидки 18% товар стал стоить 410 руб. Сколько стоил товар до скидки и какая сдача, если покупатель платит 1000 руб? Решение: пусть старая цена = X. После скидки цена = X · (1 − 0,18) = X · 0,82 = 410. Отсюда X = 410 / 0,82 ≈ 500 руб. Это значит, до скидки товар стоил 500 руб. Если покупатель платит 1000 руб., сдача = 1000 − 410 = 590 руб. При обратном поиске используется деление на множитель (1 − p/100) или (1 + p/100).

Практические советы и полезные приёмы. 1) При расчётах с деньгами всегда учитывайте копейки и округления: работать удобнее в копейках (умножив рубли на 100), чтобы не потерять точность. 2) Если проценты круглые (10%, 25%, 50%), запоминайте простые дроби: 25% = 1/4, 50% = 1/2, 10% = 1/10 — это ускоряет устные вычисления. 3) Для сложений и вычитаний больших сумм полезно сначала вычесть крупные части (например "сначала 10%, затем ещё 5%"), но помните, что последовательное применение процентов не равно сумме процентов (например, снижение на 10%, затем на 5% ≠ снижение на 15% напрямую).

Ниже приведены дополнительные упражнения для самостоятельной практики (решения — в конце):

1. Товар 1200 руб., скидка 30%. Покупатель платит 1000 руб. Сколько нужно доплатить или сколько сдачи? (решение нужно проверить)
2. Цена двух товаров: 345 руб. и 275 руб. Скидка на всю покупку 12%. Покупатель платит 700 руб. Найти сдачу.
3. После наценки 25% цена товара стала 625 руб. Сколько стоил товар до наценки? Если покупатель платит 1000 руб., сколько сдачи?

Ответы к упражнениям: 1) 30% от 1200 = 360, итого к оплате 840 руб. Если платят 1000 руб., сдача = 160 руб. 2) Сумма = 345 + 275 = 620. После скидки 12% итог = 620 · 0,88 = 545,6 → 545 руб. 60 коп. Сдача от 700 = 154 руб. 40 коп. 3) Пусть X — первоначальная цена, X · 1,25 = 625 → X = 625 / 1,25 = 500 руб. Сдача от 1000 = 375 руб.

Заключение и общие замечания: овладение темой проценты и задачи на нахождение сдачи требует практики и навыка перевода процентов в десятичные дроби, умения применять формулы на уменьшение и увеличение, а также аккуратного обращения с денежными округлениями. Помните ключевые формулы: p% от A = A · (p/100), цена со скидкой = A · (1 − p/100), цена с наценкой = A · (1 + p/100), сдача = выплачено − к оплате. Регулярная практика на реальных примерах (чеки, акции в магазинах) быстро сделает эти вычисления автоматическими и позволит экономить время и деньги.