В этом объяснении мы подробно разберём тему пропорции и её связь с операцией деления. Пропорция — это равенство двух отношений: например, запись a:b = c:d означает, что отношение числа a к числу b равно отношению числа c к числу d. Это ключевое понятие в алгебре и в задачах практического характера: при решении задач на масштабирование, при делении чего-либо в заданном отношении, при вычислении части от целого (проценты) и во многих других ситуациях.

Простейшее свойство пропорции формулируется так: если a:b = c:d, то выполняется равенство ad = bc. Это называют свойством равных отношений или свойством крестного умножения. Почему это так? Если a:b = c:d, то a/b = c/d. Перемножим обе части дробного равенства: a·d = b·c. Это утверждение удобно для нахождения неизвестного члена пропорции, когда один из четырёх чисел неизвестен. Например, если известно a, b и c, то d = (b·c)/a.

Рассмотрим пошаговый алгоритм решения пропорции с одной неизвестной. Пусть дана пропорция x : b = c : d, нужно найти x. Действуем так:

1. Записываем свойство крестного умножения: x·d = b·c.
2. Выражаем x: x = (b·c) / d.
3. Подставляем известные числа и вычисляем значение x, проверяя результаты при необходимости.

Такой же порядок используется, если неизвестен любой из четырёх членов: если неизвестен a, тогда a = (b·c)/d; если неизвестен b, b = (a·d)/c; и т.д. Пример: найдем неизвестное d в пропорции 3:5 = 9:d. По формуле d = (5·9)/3 = 15.

Связь пропорции и деления особенно важна при делении величины в заданном отношении. Допустим, нужно разделить сумму S в отношении m:n (например, 3:5). Это значит, что первая часть равна некоторому числу x = k·m, а вторая — y = k·n, причём x + y = S. Отсюда k·(m + n) = S и k = S / (m + n). То есть части равны: x = m·S/(m + n) и y = n·S/(m + n). Этот приём называют делением в данном отношении или делением в пропорции. Пример: разделить 360 рублей в отношении 3:5. Сумма долей 3+5=8, поэтому k = 360/8 = 45. Первая часть 3·45 = 135, вторая 5·45 = 225.

Часто встречается разделение на несколько частей, например в отношении m:n:p. Алгоритм похож: сумму S делим на сумму коэффициентов m + n + p, получаем масштабный множитель k = S/(m + n + p), затем каждая часть = соответствующий коэффициент · k. Такой подход универсален и называется унитарным методом или методом "единичной части". Он облегчает вычисления, когда нужно узнать доли, а также применим для дробей и процентов: например, 1% = 1/100 от целого — это частный случай деления в отношении 1:(99) при необходимости.

Важно уметь отличать прямую и обратную пропорции. В случае прямой пропорции при увеличении одной величины увеличивается и другая (например, цена за килограмм и стоимость за несколько килограммов: стоимость прямо пропорциональна массе при постоянной цене единицы). Математически это выражается как y = kx. Для обратной пропорции при увеличении одной величины другая наоборот уменьшается (например, время работы при фиксированной работе и изменяющемся числе рабочих: чем больше рабочих, тем меньше времени нужно). Это описывается как y = k/x. В задачах обратной пропорции применяется правило: если x1·y1 = x2·y2 — эти пары находятся в обратной пропорции.

Еще одно полезное понятие — среднее пропорциональное между двумя положительными числами a и b. Среднее пропорциональное x определяется так, чтобы соблюдалась пропорция a:x = x:b, откуда x^2 = ab и x = sqrt(ab). Это число встречается при решении задач, связанных с геометрией (например, свойства прямоугольных треугольников и подобие) и при интерполяции на логарифмической шкале. Пример: среднее пропорциональное между 4 и 36 равно sqrt(4·36) = sqrt(144) = 12.

При решении практических задач важно внимательно следить за единицами измерения и за знаком величин. Частые ошибки: 1) неверно составленная пропорция (порядок членов важен — левое отношение равно правому); 2) забывают сократить дроби или упускают возможность проверить результат подстановкой; 3) при делении в отношении забывают сложить коэффициенты. Чтобы избежать ошибок, рекомендуется: выделять единицу отношения, приводить числа к одинаковым единицам измерения, применять проверку посредством обратного вычисления.

Для закрепления приведу несколько типичных задач с пошаговыми решениями.

• Задача 1. Разделить 1000 г шоколада в отношении 2:3:5. Решение: сумма долей 2+3+5=10, единица k = 1000/10 = 100 г. Части: 200 г, 300 г, 500 г соответственно.
• Задача 2. В пропорции 7:x = 21:9 найти x. Решение: крестное умножение: 7·9 = x·21 => 63 = 21x => x = 3.
• Задача 3. Два мастера выполняют работу вместе за 6 часов; первый сам сделал её за 10 часов, второй — за сколько? Условие обратной пропорции: скорость работы v = 1/время. Вместе скорость v1+v2 = 1/10 + 1/t = 1/6. Следовательно 1/t = 1/6 - 1/10 = (5-3)/30 = 2/30 = 1/15, значит t = 15 часов.

Наконец, несколько практических советов для устных и письменных работ: всегда начинайте с перевода словесного условия в математическую модель (отношения, сумма долей, единица), выписывайте пропорции аккуратно, применяйте правило крестного умножения и единичную долю, проверяйте результаты обратной подстановкой. Работа с пропорциями и делением развивает умение логически структурировать задачу, поэтому полезно тренироваться на разных типах примеров: числовых, геометрических и практических (финансы, рецепты, ремесленные расчёты).

В конце — несколько задач для самостоятельной тренировки с ответами, чтобы закрепить материал: 1) Разделите 840 в отношении 4:7. Ответ: 240 и 600. 2) Найдите x, если x:12 = 5:8. Ответ: x = 7.5. 3) Три человека должны выполнить работу; первый и второй вместе делают её за 6 ч, второй и третий — за 4 ч, первый и третий — за 5 ч. Сколько часов требуется каждому по отдельности? (Решение требует системы уравнений; ответ: первый 10 ч, второй 12 ч, третий 7.5 ч). Регулярная практика поможет быстро овладеть навыком решения задач на пропорции и деление.