Сумма площадей фигур — это базовый принцип планиметрии, который позволяет находить площадь сложной фигуры через разбиение её на несколько простых частей. Идея опирается на естественное свойство площади: если фигуру можно разрезать на неперекрывающиеся части, то её площадь равна сумме площадей этих частей. В 7 классе мы применяем это правило к реальным задачам: измеряем площадь пола, фасада с окнами, площадку с закруглениями, участок необычной формы. Важно научиться правильно разбивать фигуру, подбирать подходящие формулы и следить за тем, не пересчитываем ли мы одну и ту же часть дважды.

Начнём с ключевых свойств площади. Во-первых, площадь измеряется в квадратных единицах: квадратных сантиметрах (см²), квадратных метрах (м²) и т. д. Во-вторых, площадь не меняется при разрезании фигуры на части и обратном сложении этих частей без зазоров и перекрытий. Это свойство называют аддитивностью: если фигура составлена из нескольких непересекающихся частей, то её площадь равна сумме их площадей. В-третьих, если детали накладываются друг на друга, то простого сложения недостаточно — нужно учитывать перекрытие и вычитать площадь общих областей.

Главный принцип, которым мы будем пользоваться: если фигура A разбита на части A1, A2, A3, …, которые не перекрываются (имеют общие только границы, без общих внутренних точек), то площадь фигуры A равна сумме площадей частей A1, A2, A3, … Это и есть практическая формулировка идеи «сумма площадей фигур». Если же у нас есть две фигуры, которые частично накладываются, полезно помнить правило «не двойного счёта»: площадь объединения равна сумме площадей минус площадь пересечения (части, где они накладываются). Именно здесь легко допустить типичную ошибку — посчитать общую зону дважды, а потом забыть вычесть её.

Удобный алгоритм решения задач на вычисление площади составной фигуры выглядит так:

1. Внимательно изучите рисунок и выделите простые геометрические фигуры (прямоугольники, треугольники, трапеции, круги, сектора), из которых сложена исходная фигура.
2. Проверьте, есть ли перекрытия или «дыры» (вырезы). Если есть вырезы — их площади предстоит вычесть; если есть перекрытия — их площади нужно будет вычесть из суммы, чтобы не считать дважды.
3. Определите необходимые размеры: длины сторон, высоты, диаметры, радиусы. Если каких-то данных нет, попробуйте найти их через равенства отрезков, подобие треугольников, свойства параллельных прямых или по чертежу в клетку.
4. Подберите формулы для площадей простых фигур и выполните вычисления шаг за шагом.
5. Сложите или вычтите найденные площади согласно структуре исходной фигуры. Аккуратно подписывайте каждое действие, чтобы избежать путаницы.
6. Проведите проверку: прикиньте, разумна ли полученная величина (например, не может ли она быть больше площади ограничивающего прямоугольника).

Напомним часто используемые формулы, на которые опирается сумма площадей:

• Прямоугольник: площадь равна произведению длины на ширину (S = a · b).
• Квадрат: S = a · a.
• Параллелограмм: S = основание · высота.
• Треугольник: S = 1/2 · основание · высота.
• Трапеция: S = 1/2 · (сумма оснований) · высота.
• Круг: S = π · r², полукруг: S = 1/2 · π · r², сектор (с центральным углом α градусов): S = (α/360°) · π · r².
• Кольцо (разность двух кругов): S = π · (R² − r²).

Разберём классический пример. Дана Г-образная (ступенчатая) фигура. Быстрый путь — представить её как «большой прямоугольник минус вырез». Допустим, внешний прямоугольник имеет размеры 10 см на 7 см, а вырез в углу — 6 см на 4 см. Тогда:

1. Находим площадь большого прямоугольника: 10 · 7 = 70 см².
2. Находим площадь выреза: 6 · 4 = 24 см².
3. Вычитаем: 70 − 24 = 46 см².

Альтернатива — разбить фигуру на два неперекрывающихся прямоугольника и сложить их площади. Если ширина горизонтальной «полки» 10 см и её высота 3 см, а вертикальная «стойка» 4 см шириной и 4 см высотой, то площади прямоугольников: 10 · 3 = 30 см² и 4 · 4 = 16 см². Сумма: 30 + 16 = 46 см² — тот же ответ. Оба способа иллюстрируют, как работает аддитивность площадей, и подчеркивают, что правильно выбранное разбиение упрощает вычисления.

Теперь пример с круглым элементом. Имеется прямоугольник 8 см на 3 см, сверху к нему «прилеплена» полуокружность, чей диаметр совпадает с верхней стороной прямоугольника (8 см). Найдём сумму площадей этих частей:

1. Площадь прямоугольника: 8 · 3 = 24 см².
2. Радиус полуокружности: 8/2 = 4 см; площадь полукруга: 1/2 · π · 4² = 8π см².
3. Сумма: 24 + 8π ≈ 24 + 25,13 = 49,13 см² (если требуется численное приближение при π ≈ 3,1416).

Важно отметить, что если бы полукруг был вырезан из прямоугольника, мы бы не складывали, а вычитали: 24 − 8π. Внимание к слову «вырезан» или «прибавлен» критично для правильного решения.

Рассмотрим случай с перекрытием. Даны два прямоугольника на одном чертеже: первый 6 см на 5 см, второй 7 см на 4 см. Они накладываются друг на друга в области размером 3 см на 2 см. Если требуется найти площадь объединения фигуры, не нужно просто складывать площади двух прямоугольников — так мы дважды учтём общую часть. Делаем так:

1. Площадь первого прямоугольника: 6 · 5 = 30 см².
2. Площадь второго прямоугольника: 7 · 4 = 28 см².
3. Площадь пересечения: 3 · 2 = 6 см².
4. Площадь объединения: 30 + 28 − 6 = 52 см².

Здесь мы по сути применили простейший вариант формулы включений-исключений: чтобы избежать «двойного счёта», из суммы вычитается площадь пересечения. Этот приём часто встречается в заданиях с несколькими накладывающимися деталями.

Случай с «дырой» в середине — ещё один повод вспомнить разность площадей. Пусть у нас прямоугольная рамка: внешний прямоугольник 12 см на 8 см и внутренний «вырез» 8 см на 4 см. Тогда площадь рамки:

1. Внешняя площадь: 12 · 8 = 96 см².
2. Внутренняя площадь (вырез): 8 · 4 = 32 см².
3. Итог: 96 − 32 = 64 см².

Аналогично решается задача про кольцо (область между двумя концентрическими окружностями). Если радиусы 5 см и 3 см, то площадь: π · (5² − 3²) = π · 16 = 16π см². Если текст задачи говорит о «рамке», «ободе», «кольце» или «области между кривыми», почти всегда речь идёт о вычитании.

В школьной практике часто встречаются фигуры на клетчатой бумаге. Там удобно пользоваться методом подсчёта клеток:

• Сначала посчитать количество полных клеток внутри фигуры.
• Затем приблизительно оценить долю неполных клеток (например, две «половинки» дают одну целую).
• Если фигура составная, разбить её на треугольники и прямоугольники по линиям сетки и суммировать их площади.

Этот способ хорош для проверки результата: прикидка по клеткам должна быть согласована с точными вычислениями. На клетчатой сетке легко заметить симметрии, равные отрезки и прямые углы, что помогает корректно выполнить разбиение фигуры.

Полезно связать тему с повседневными задачами. Например, чтобы рассчитать количество краски для стены с окном, берём площадь стены (высота · ширина) и вычитаем площадь окна. Для пола со сложной планировкой его удобнее разделить на прямоугольники, найти площади каждого и сложить. При планировании грядки с закруглёнными краями можно представлять края как части кругов и учитывать их площади как суммы секторов. В каждом из этих случаев правило одно: суммируем площади прибавленных частей и вычитаем площади вырезов.

Ещё одна важная идея — связь между масштабом и площадью. Если все линейные размеры фигуры увеличены в k раз, то её площадь увеличивается в k² раз. Это свойство помогает быстро сравнивать результаты и делать проверки. Например, если одна и та же фигура изображена в масштабе 1:2, то её площадь на чертеже будет в 4 раза меньше реальной (2² = 4). Иногда задача «прячется» в переводе единиц: не забудьте, что 1 м² = 10 000 см², потому что 1 м = 100 см, а площадь растёт как квадрат масштаба.

Бывают задачи, где удобно использовать внешнее обрамление (метод дополнения). Заключаем фигуру в простой прямоугольник, находим его площадь, а затем вычитаем площади треугольников и прямоугольников, которые остаются снаружи. Такой подход особенно удобен для многоугольников с ломаным контуром. Например, многоугольник вписан в прямоугольник 10 см на 7 см, а с каждой стороны вырезаны три треугольника площадями 6 см², 8 см² и 5 см². Тогда площадь многоугольника равна 10 · 7 − (6 + 8 + 5) = 70 − 19 = 51 см². Это опять тот же принцип: «всё минус лишнее».

На что обратить внимание, чтобы избежать ошибок:

• Убедитесь, что части, которые вы складываете, действительно не перекрываются. При сомнениях лучше нарисовать схему разбиения и заштриховать каждую часть своим цветом.
• Если встречается формулировка «объединение фигур», «вместе», «в сумме» — будьте готовы применить вычитание площади пересечения, иначе получится завышенный ответ.
• Следите за единицами измерения площади: приводите все величины к единым единицам перед вычислениями.
• Не путайте периметр и площадь. Из равенства периметров не следует равенство площадей.
• Проверяйте результат прикидкой. Площадь не может быть больше площади содержащего прямоугольника и меньше нуля.
• Записывайте ход решения по шагам: что именно складываем и что вычитаем. Это помогает найти и исправить ошибку ещё до вычисления чисел.

Наконец, полезно видеть за формулами геометрический смысл. Разрезая и складывая фигуры по-новому, мы не меняем их площадь — лишь раскладываем «площадь» на удобные части. Это помогает решать задачи, где на первый взгляд нет прямых формул: закруглённые углы можно представить как разность четвертей кругов, треугольные ниши — как половины прямоугольников, сложные многоугольники — как комбинации нескольких трапеций и треугольников. Вся техника строится на одном фундаментальном приёме: правильно выбранное разбиение превращает трудную фигуру в набор знакомых форм, для которых площадь считается мгновенно.

Подытожим. Чтобы уверенно решать задачи на сумму площадей фигур, важно: знать формулы площадей базовых фигур; уметь разбирать сложный контур на простые элементы; различать добавленные области и вырезы; корректно работать с перекрытиями; аккуратно оформлять решение и проверять ответ оценкой сверху и снизу. Освоив этот подход, вы легко справитесь и с практическими задачами, и с олимпиадными вопросами на изобретательное разбиение: везде работает один и тот же понятный и надёжный принцип сложения и вычитания площадей.