Смешанное число — это запись вида целая часть и дробная часть вместе, например: 3 1/2, 5 3/4, 12 7/8. В 8 классе важно уверенно работать с такими числами, особенно при делении смешанных чисел. Главная идея: прежде чем делить, смешанные числа переводят в неправильные дроби, затем заменяют деление на умножение на обратную дробь, выполняют сокращение и умножение, и в конце, при необходимости, возвращают результат обратно в смешанное число. Эта последовательность действий гарантирует точность и позволяет избегать ошибок, особенно в задачах, где важно получить точный, а не десятичный ответ.

Напомню определения. Неправильная дробь — это дробь, у которой числитель не меньше знаменателя: 7/4, 15/5, 23/6. Чтобы преобразовать смешанное число в неправильную дробь, умножьте целую часть на знаменатель дробной части и прибавьте числитель. Например, 3 1/2 = (3 × 2 + 1)/2 = 7/2, 5 2/3 = (5 × 3 + 2)/3 = 17/3, 1 3/4 = (1 × 4 + 3)/4 = 7/4. Этот переход обязателен перед делением, потому что формула деления для дробей работает именно с неправильными дробями. Деление дробей заменяется на умножение на обратную дробь: a/b ÷ c/d = a/b × d/c. Для смешанных чисел это правило начинает работать сразу после перевода в неправильные дроби.

Алгоритм деления смешанных чисел выглядит так:

1. Переведите каждое смешанное число в неправильную дробь.
2. Замените деление на умножение на обратную дробь: A/B ÷ C/D = A/B × D/C.
3. Сократите дроби до умножения: выполните перекрёстное сокращение между числителем одной дроби и знаменателем другой.
4. Перемножьте числители и знаменатели.
5. Сократите результат, если это возможно.
6. Переведите неправильную дробь обратно в смешанное число (если требуется), выделив целую часть.
7. Сделайте оценку и проверку: приблизительно прикиньте ответ и убедитесь, что он по величине и знаку разумен.

Рассмотрим базовый пример. Делим 3 1/2 на 1 3/4. Переводим: 3 1/2 = 7/2, 1 3/4 = 7/4. Теперь 7/2 ÷ 7/4 = 7/2 × 4/7. Перед умножением сокращаем: 7 с 7 (делим на 7), остаётся 1/2 × 4/1. Далее сокращаем 4 и 2 (делим на 2): 1/1 × 2/1. Получаем 2/1, то есть 2. Заметьте, насколько удобно делать сокращение до умножения: это упрощает вычисления и уменьшает риск ошибок. Кроме того, оценка помогает: мы делим 3 с половиной на число, чуть меньшее 2, значит ответ немного больше 1, и 2 выглядит логично, особенно учитывая точное вычисление.

Теперь более содержательный пример. Вычислить 5 2/3 ÷ 2 1/6. Преобразуем: 5 2/3 = (5×3+2)/3 = 17/3, 2 1/6 = (2×6+1)/6 = 13/6. Деление: 17/3 ÷ 13/6 = 17/3 × 6/13. Сокращаем: 6 и 3 делим на 3, получаем 2 и 1, дальше 17 и 13 не сокращаются, результат (17×2)/(1×13) = 34/13. Выделим целую часть: 34/13 = 2 целых и 8/13. Ответ: 2 8/13. Оценка: примерно 5,67 делим на 2,17 — результат около 2 с небольшим. Полученный ответ согласуется с прикидкой.

Часто учащиеся спрашивают, почему нельзя «делить дроби по отдельности: числитель на числитель и знаменатель на знаменатель». Это ошибка. Деление дробей устроено иначе: a/b ÷ c/d означает «сколько раз дробь c/d содержится в дроби a/b», и строго доказывается, что это равно a/b × d/c. Думайте о делении как об умножении на обратное число: чтобы разделить на 3/5, надо умножить на 5/3. Этот факт — ключ к безошибочным вычислениям.

Рассмотрим пример с отрицательными числами, чтобы закрепить правило знаков. Вычислить −2 1/4 ÷ 1 1/2. Переводим: −2 1/4 = −9/4 (знак относится ко всей дроби), 1 1/2 = 3/2. Тогда −9/4 ÷ 3/2 = −9/4 × 2/3. Сокращаем: 9 и 3 делим на 3, получаем 3 и 1; 2 и 4 делим на 2, получаем 1 и 2. Имеем −3/2 = −1 1/2. Правило знаков: при делении чисел с разными знаками результат отрицательный, с одинаковыми знаками — положительный. Это правило удобно проверять оценкой: по модулю 2,25 ÷ 1,5 = 1,5, а знак «минус» сохраняется — получаем −1,5, что совпадает с −1 1/2.

Обратите внимание на интересный частный случай. Вычислить 7 1/5 ÷ 3 3/5. Преобразуем: 7 1/5 = 36/5, 3 3/5 = 18/5. Деление: 36/5 ÷ 18/5 = 36/5 × 5/18. Сокращаем 5 и 5, затем 36 и 18 делим на 18: 2 и 1. Результат 2. Это иллюстрирует важное наблюдение: если дроби имеют одинаковый знаменатель, то при делении остаток знаменателя сокращается, и величина ответа — это по сути отношение числителей.

Теперь разберём типичные ошибки и как их избежать:

• Ошибка 1: делят «по компонентам» (целую часть на целую, дробную на дробную). Правильно всегда сначала переводить в неправильную дробь.
• Ошибка 2: переворачивают обе дроби. Переворачивают только делитель (вторая дробь), а не делимое.
• Ошибка 3: забывают выполнить сокращение до умножения. Это не только удлиняет расчёты, но может привести к арифметическим промахам при больших числах.
• Ошибка 4: неверно выделяют целую часть из неправильной дроби в конце (делят без остатка или не учитывают знак). Всегда делите числитель на знаменатель столбиком, остаток — новый числитель, знак переносится ко всему числу.
• Ошибка 5: игнорируют особые случаи: деление на ноль запрещено, ноль делится на любой ненулевой делитель и даёт нуль.
• Ошибка 6: пытаются приводить к общему знаменателю перед делением. Для деления это не требуется; общее основание нужно для сложения и вычитания.

Полезные проверочные приёмы. После получения ответа A можно быстро проверить, верен ли он: умножьте найденный результат на делитель — должны получить исходное делимое. Например, в примере 5 2/3 ÷ 2 1/6 = 2 8/13: проверяем 2 8/13 × 2 1/6. Преобразуем: 34/13 × 13/6 = 34/6 = 17/3 = 5 2/3 — всё верно. Ещё одна проверка — оценка величины: если делите на число меньше 1, ответ должен быть больше исходного делимого; если на число больше 1 — меньше. Так, 4 1/2 ÷ 3/4 (деление на 0,75) обязательно даст число больше 4,5, и это помогает вовремя заметить нелепости.

Разберём задачу на применение, типичную для курса 8 класса. Из бруска длиной 7 7/8 м нужно нарезать заготовки по 1 3/4 м. Сколько заготовок получится? Модель: надо посчитать, сколько раз 1 3/4 «поместится» в 7 7/8, то есть вычислить 7 7/8 ÷ 1 3/4. Переводим: 7 7/8 = (7×8+7)/8 = 63/8, 1 3/4 = (1×4+3)/4 = 7/4. Деление: 63/8 ÷ 7/4 = 63/8 × 4/7. Сокращаем: 63 и 7 делим на 7 — получаем 9 и 1; 4 и 8 делим на 4 — получаем 1 и 2. Итого 9/2 = 4 1/2. Это означает, что из целого бруска можно сделать 4 полные заготовки, и останется половина длины одной заготовки. Если по условию нужны только целые заготовки, ответ — 4 штуки, остаток 7/8 м. Если допускается неполная последняя деталь, то получают 4,5 заготовки по длине.

Ещё одна прикладная ситуация — кулинарные пропорции. Рецепт рассчитан на 2 1/2 порции, а у вас есть ингредиентов на 7 1/2 порций. Сколько «рецептовых порций» вы можете приготовить? Считаем 7 1/2 ÷ 2 1/2. Перевод: 7 1/2 = 15/2, 2 1/2 = 5/2. Деление: 15/2 ÷ 5/2 = 15/2 × 2/5. Сокращаем 2 и 2, затем 15 и 5 делим на 5 — получаем 3 и 1. Ответ 3. Значит, текущего запаса хватит ровно на три «порции по рецепту». Такая задача хорошо иллюстрирует смысл деления как операции «сколько раз».

Отдельно стоит сказать про работу со знаками и нулём. Если делитель равен нулю (например, 4 1/3 ÷ 0), выражение не имеет смысла: деление на ноль запрещено. Если делимое равно нулю, а делитель ненулевой (0 ÷ 3 1/5), результат равен нулю. Если оба числа отрицательные, результат положительный; если только одно отрицательное — результат отрицательный. Всегда проверяйте знак ещё до вычислений, чтобы ответ выглядел разумно, особенно в текстовых задачах.

Несколько стратегий, которые ускоряют вычисления и делают их надёжными:

• Раннее сокращение. Сокращайте до умножения: ищите общие делители между числителем первой дроби и знаменателем второй, и наоборот. Это избавляет от больших чисел.
• Разложение на множители. Если числа крупные (например, 84/35 × 25/18), факторизуйте: 84 = 2×2×3×7, 35 = 5×7, 25 = 5×5, 18 = 2×3×3 — сокращение становится прозрачным.
• Оценка результата. Округлите смешанные числа до ближайших целых и прикиньте; это помогает контролировать ошибки. Например, 5 2/3 ÷ 2 1/6 близко к 6 ÷ 2 = 3 — значит точный ответ должен быть около 3, но немного меньше.
• Выбор формы ответа. В алгебраических задачах чаще оставляют несократимую дробь, а в прикладных — смешанное число для наглядности.
• Проверка обратным действием. Умножьте найденный результат на делитель и сравните с делимым — быстрый контроль без пересчёта.

Разберём ещё две тренирующие задачи с подробным решением. 1) 4 3/8 ÷ 1 1/4. Переводим: 4 3/8 = (4×8+3)/8 = 35/8, 1 1/4 = 5/4. Деление: 35/8 ÷ 5/4 = 35/8 × 4/5. Сокращаем 35 и 5 (делим на 5): 7 и 1; 4 и 8 (делим на 4): 1 и 2. Получаем 7/2 = 3 1/2. Оценка: 4,375 ÷ 1,25 ≈ 3,5 — совпало точно.

2) 6 5/6 ÷ 2 2/3. Перевод: 6 5/6 = (6×6+5)/6 = 41/6, 2 2/3 = (2×3+2)/3 = 8/3. Деление: 41/6 ÷ 8/3 = 41/6 × 3/8. Сокращаем 3 и 6 (делим на 3): 1 и 2. Получаем 41/(2×8) = 41/16 = 2 9/16. Оценка: 6,83 ÷ 2,67 ≈ 2,56 — наш ответ 2,5625, всё согласуется.

Полезно понимать смысл деления смешанных чисел геометрически. Представьте числовую прямую и отрезок длиной, скажем, 7 1/2. Деление 7 1/2 на 1 1/2 — это ответ на вопрос: «сколько отрезков длиной 1 1/2 умещается в данном?» Мы уже решали подобное: 15/2 ÷ 3/2 = 5. Визуализация помогает интуитивно чувствовать, должен ли ответ быть целым, больше или меньше исходного числа и т. д.

Иногда спрашивают, можно ли переводить смешанные числа в десятичные дроби и делить «в столбик». Теоретически можно, но в большинстве учебных задач это приводит к бесконечным десятичным дробям и потере точности. Например, 1 3/7 — бесконечная десятичная дробь, и деление даст приближённый ответ. Поэтому для точных вычислений строго рекомендуется работать с обыкновенными дробями и смешанными числами, используя описанный алгоритм.

Наконец, небольшой «чек-лист» для самостоятельной работы:

1. Верно ли переведены смешанные числа в неправильные дроби?
2. Корректно ли заменено деление на умножение на обратную дробь (перевёрнут только делитель)?
3. Сделано ли перекрёстное сокращение перед умножением?
4. Сокращён ли итоговый результат, выделена ли целая часть?
5. Проведена ли оценка и проверка обратным действием?
6. Учтены ли знак и запрет деления на ноль?

Освоив эти шаги, вы сможете уверенно решать любые задания на деление смешанных чисел: от простых вычислительных примеров до задач с контекстом — длины, время, скорость, расход материалов. Тренируйтесь на разнообразных примерах, проверяйте ответы рассуждением и оценкой, и каждый новый пример будет даваться всё быстрее и надёжнее.