Начнём с определения и условного обозначения. Под правильной треугольной призмой обычно понимают призму, у которой основания — равносторонние треугольники (все стороны равны), а боковые ребра параллельны и перпендикулярны плоскости основания (то есть это ещё и прямое тело). Обозначим через a сторону основания (сторону равностороннего треугольника), а через h — высоту призмы (длину бокового ребра). Цель: получить понятные и удобные формулы для площади боковой поверхности и площади полной поверхности такой призмы, понять, откуда они берутся, и научиться применять их в задачах.

Сначала вспомним формулу для площади основания — равностороннего треугольника. Высота равностороннего треугольника со стороной a равна a·√3/2. Тогда площадь основания вычисляется как половина произведения стороны на высоту: площадь основания S_осн = (1/2)·a·(a·√3/2) = (√3/4)·a². Именно эта формула — ключ к вычислению полной поверхности: в призме две одинаковые основы, поэтому суммарная площадь двух оснований равна 2·(√3/4)·a² = (√3/2)·a². Важно запомнить и осознать: площадь основания зависит только от a и определяется формулой (√3/4)·a².

Далее рассмотрим боковую поверхность. Боковые грани правильной треугольной призмы — три прямоугольника. Каждый прямоугольник имеет одну сторону, равную стороне основания a, и другую сторону, равную высоте призмы h. Поэтому площадь каждой боковой грани равна a·h. Суммарно, поскольку таких трёх прямоугольников, получаем площадь боковой поверхности S_бок = 3·(a·h) = (периметр основания)·h. Здесь полезно выделить общую мысль: для любой призмы площадь боковой поверхности равна периметру основания, умноженному на высоту призмы. Для нашей правильной треугольной призмы периметр основания P = 3a, следовательно S_бок = P·h = 3a·h. Подчеркну: эта формула очень удобна и часто используется в задачах.

Теперь сложим обе части, чтобы получить формулу для площади полной поверхности призмы. Полная поверхность — это боковая поверхность плюс две площади оснований. Получаем S_полн = S_бок + 2·S_осн = 3a·h + 2·(√3/4)·a² = 3a·h + (√3/2)·a². Эту формулу можно представить в виде двух слагаемых: первое слагаемое отражает вклад боковых прямоугольников, второе — вклад двух равносторонних оснований. Формула универсальна для любой прямой треугольной правильной призмы и удобна для подстановки численных данных.

Рассмотрим подробный численный пример — пошагово, как учитель. Пусть сторона основания a = 6 см, высота призмы h = 10 см. Сначала площадь основания S_осн = (√3/4)·6² = (√3/4)·36 = 9·√3 ≈ 15,588 см². Дважды: 2·S_осн ≈ 31,176 см². Площадь боковой поверхности S_бок = 3·a·h = 3·6·10 = 180 см². И наконец S_полн = S_бок + 2·S_осн ≈ 180 + 31,176 = 211,176 см². Округление: если требуется округлить до целых, получим ≈ 211 см². Важно всегда указывать единицы измерения и при необходимости объяснять, где производится округление и почему.

Дадим несколько типичных задач и разберём их решение шаг за шагом. Такие приёмы часто встречаются на контрольных и экзаменах.

• Задача 1. Даны a и h, найдите S_бок и S_полн. Решение: подставляем a в формулу периметра P = 3a, считаем S_бок = P·h = 3a·h, затем S_полн = S_бок + (√3/2)·a².
• Задача 2. Дано S_бок и a, найдите h. Решение: используем S_бок = 3a·h => h = S_бок / (3a). Это прямая линейная формула, которую удобно применять.
• Задача 3. Дано S_полн и a, найдите h. Решение: из S_полн = 3a·h + (√3/2)·a² выразим h = (S_полн − (√3/2)·a²) / (3a). Здесь важно проверить, что числитель положителен — иначе физических размеров нет.

Несколько важных замечаний и типичных ошибок, на которые обращаю внимание на уроках. Первое: запоминайте, что боковая поверхность — это не площадь основания; это сумма площадей прямоугольников (или параллелограммов в более общем случае). Второе: в правильной треугольной призме основания равны и равносторонние — их площадь берётся по формуле (√3/4)·a². Третье: если призма наклонная (непрямая), то боковые грани — не прямоугольники, и для вычисления площади потребуется знать длину бокового ребра или проекцию; однако формула S_бок = P·l остаётся в силе, если l — длина бокового ребра параллельного направлению боковых граней (в общем случае аккуратно работать с определениями высоты и бокового ребра).

Полезная визуализация: развернётся ли сетка (net) призмы — отличный способ проверить вычисления. Сетка правильной треугольной призмы состоит из трёх одинаковых прямоугольников, расположенных в ряд, и двух равносторонних треугольников по концам. Площадь сетки равна площади полной поверхности. Это удобно для практических задач (бумажные модели, построение упаковок и т. п.). Кроме того, при моделировании можно померить каждую грань и сверить сумму площадей с формулой S_полн = 3a·h + (√3/2)·a².

В конце приведу варианты контрольных вопросов и задач для самостоятельной тренировки, которые помогают закрепить тему:

1. Найдите площадь боковой поверхности и полную площадь правильной треугольной призмы при a = 8 см и h = 12 см.
2. Площадь полной поверхности правильной треугольной призмы равна 300 см², сторона основания a = 5 см. Найдите высоту призмы h.
3. Длина бокового ребра равна 15 см, площадь одной боковой грани равна 75 см². Найдите сторону основания a.

Краткие ответы к задачам для самопроверки: 1) S_бок = 3·8·12 = 288 см², S_осн = (√3/4)·64 = 16·√3 ≈ 27,712 см², S_полн ≈ 288 + 2·27,712 ≈ 343,424 см². 2) h = (S_полн − (√3/2)·a²) / (3a) = (300 − (√3/2)·25) / 15 ≈ (300 − 21,650) /15 — здесь очевидна опечатка в вычислении: нужно аккуратно подставить √3 ≈1,732, получить 2·S_осн = (√3/2)·25 ≈ (1,732/2)·25 ≈ 0,866·25 ≈21,65, поэтому h ≈ (300 −21,65)/15 ≈ 278,35/15 ≈ 18,556 см. 3) a = S_грани / h — если дана только площадь и боковое ребро, то a = S_грани / l. В нашем варианте a = 75/15 = 5 см.

Подытоживая: для правильной треугольной призмы ключевые формулы — площадь основания S_осн = (√3/4)·a², площадь боковой поверхности S_бок = 3a·h (или P·h), и площадь полной поверхности S_полн = 3a·h + (√3/2)·a². Понимание того, откуда берутся эти формулы — через развертку сетки и разбиение на прямоугольники и треугольники — даёт прочное представление и помогает успешно решать самые разные практические и теоретические задачи.