В этом тексте мы подробно разберём тему пропорции и задачи на совместную работу, как если бы вы сидели на уроке математики в 8 классе. Сначала дадим строгое, но понятное определение: пропорция — это равенство двух отношений. Обычно его записывают так: a : b = c : d или a/b = c/d. Числа a и d называются крайними членами, a и c — средними членами. Главное свойство пропорции — произведение крайних членов равно произведению средних: a·d = b·c. Это свойство часто называют правилом произведения крайних и средних и оно является основой для решения большого количества задач.

Разберём свойства и важные термины, которые постоянно встречаются в задачах. Если два отношения равны, то можно менять местами соответствующие члены: a : b = c : d тогда и только тогда, когда b : a = d : c или a : c = b : d — это следствие базовой симметрии отношений. Если все члены пропорции умножить или разделить на одно и то же число, кроме нуля, то пропорция не изменится. Также существует понятие прямая пропорция (при увеличении одного величина увеличивается во столько же раз другой) и обратная пропорция (при увеличении одной величина уменьшается во столько же раз другая). Эти понятия важно четко различать при решении практических задач.

Переходим к алгоритму решения задач с пропорциями. Он прост и систематичен, поэтому удобно применять его в экзаменах и контрольных. Основные шаги следующие:

1. Переведите условие задачи в математические отношения, выделите, что сравнивается.
2. Запишите пропорцию в виде a : b = c : x или a/b = c/x в зависимости от задачи.
3. Примените правило произведения крайних и средних: a·x = b·c и найдите x = (b·c)/a.
4. Проверьте ответ подстановкой в исходную пропорцию, проверьте единицы измерения и целесообразность результата.

Этот алгоритм позволяет быстро свести задачу к простому вычислению дроби и избежать типичных ошибок.

Приведём несколько примеров для закрепления. Пример 1 (классическая пропорция): если 5 книг стоят 150 рублей, то сколько стоят 8 таких книг? Писать пропорцию удобно так: 5 : 150 = 8 : x. По правилу произведения крайних и средних получаем 5·x = 150·8, следовательно x = (150·8)/5 = 30·8 = 240 рублей. Можно заметить, что цена за одну книгу 150/5 = 30 рублей, умножаем на 8 — получаем тот же результат.

Теперь прикладная тема — задачи на совместную работу. Они базируются на понятии производительность (или скорость работы), которая показывает, какую часть общего дела выполняет работник за единицу времени. Основная идея: если один рабочий выполняет всю работу за T1 часов, его производительность равна 1/T1 доли работы в час. Если второй выполняет работу за T2 часов, то его производительность 1/T2. Совместная производительность при совместной работе равна сумме индивидуальных производительностей: 1/T = 1/T1 + 1/T2 (если работают одновременно). Тогда время совместной работы T = 1 / (1/T1 + 1/T2). Это удобная формула, которую всегда полезно выводить из определения.

Разберём подробный пример задачи на совместную работу. Задача: первый рабочий красит дом за 6 часов, второй — за 9 часов. Сколько времени потребуется им вместе? Решение: производительность первого 1/6 доли в час, второго 1/9. Сложим: 1/6 + 1/9 = (3+2)/18 = 5/18 доли работы в час. Значит, совместное время T = 1 / (5/18) = 18/5 = 3,6 часа, то есть 3 часа 36 минут. Всегда удобно привести ответ в понятных единицах — часах и минутах. Проверка: за 3,6 часа первый выполнит 3,6/6 = 0,6 работы, второй — 3,6/9 = 0,4, сумма = 1.

Существуют более сложные варианты задач на совместную работу: разные начала работы, уходы на перерывы, разные участки работы, работа машин и людей. Приведём пример со стартом в разное время: А красит дом за 8 часов, Б приходит через 2 часа и вместе с А заканчивает работу через t часов. Найдём t. Пусть полный процесс занимает T часов от начала А до конца. Тогда за первые 2 часа А сделал 2/8 = 1/4 работы. Оставшаяся часть = 3/4. Теперь вместе их производительность 1/8 + 1/Tb (если Б красит за Tb часов) — если в условии даётся время Б например 12 часов, то его производительность 1/12. Тогда время совместной работы x удовлетворяет (1/8 + 1/12)·x = 3/4. Считаем: 1/8 + 1/12 = (3+2)/24 = 5/24, следовательно x = (3/4) / (5/24) = (3/4)·(24/5) = (3·6)/5 = 18/5 = 3,6 часа. Общий итог от начала работы А до окончания = 2 + 3,6 = 5,6 часа. Важно аккуратно учесть, кто сколько и когда сделал.

Дадим ещё несколько полезных советов и типичных ошибок. Во-первых, всегда выделяйте единицу работы — чаще всего это «вся работа = 1». Во-вторых, записывайте производительности в одинаковых единицах времени (часы, минуты). В-третьих, не забывайте про обратную пропорцию: если задача спрашивает о времени при увеличении количества рабочих, то время меняется обратно пропорционально числу рабочих (если все работают с одинаковой производительностью). Например, если 5 рабочих делают работу за 10 часов, то 10 рабочих сделают её за 5 часов — время уменьшилось в 2 раза. Наконец, проверяйте крайние случаи: дроби и деление на ноль — недопустимы. Также полезно сокращать дроби перед умножением, чтобы избежать больших чисел в вычислениях.

Для закрепления приводим ещё пару задач с короткими решениями: 1) Три станка выполняют работу за 4, 6 и 12 часов соответственно. Сколько времени займёт работа, если работают все три одновременно? Решение: суммируем производительности 1/4+1/6+1/12 = (3+2+1)/12 = 6/12 = 1/2 работы в час, значит время 2 часа. 2) Если 7 рабочих за 9 дней делают одну работу, сколько рабочих нужно, чтобы сделать ту же работу за 3 дня (при той же производительности)? Решение: время и число рабочих связаны обратной пропорцией: n1·t1 = n2·t2 при равной общей работе и одинаковой производительности одного рабочего. Значит 7·9 = n2·3, n2 = (7·9)/3 = 21 рабочих.

В конце перечислим ключевые понятия и приёмы, которые помогут вам уверенно решать такие задачи:

• Пропорция — равенство двух отношений;
• Правило произведения крайних и средних — основной приём для вычисления неизвестного;
• Производительность (скорость выполнения работы) — часть работы в единицу времени;
• Единица работы = 1 — удобный способ перевода словесного условия в формулы;
• Совместная работа — суммируем производительности действующих работников;
• При различных началах и перерывах — вычисляем доли, сделанные каждым в своей фазе, и складываем до единицы;
• При решении задач с похожими данными используйте сокращение дробей и проверяйте разумность ответа.

Эти рекомендации и алгоритмы, подкреплённые практикой на примерных задачах, делают тему доступной и понятной. Попрактикуйтесь самостоятельно: составьте несколько задач, поменяйте числа, проверьте свои ответы — так вы закрепите навык решения пропорций и задач на совместную работу.