Введение в тему: уравнения с комплексными числами расширяют привычную арифметику действительных чисел и требуют от ученика умения оперировать как с алгебраической записью z = x + yi (где x и y — действительная и мнимая части), так и с геометрической (полярной) формой. В рамках 9-го класса важно понять основные приёмы: приведение к виду x + yi, приравнивание действительных и мнимых частей, использование формулы для квадратных уравнений при комплексных коэффициентах, применение полярной записи и теоремы Муавра для извлечения корней. Ниже даётся развернутое пояснение с примерами, практическими методиками и указанием типичных ошибок.

Что такое комплексное число и как с ним считать. Напомним, что комплексное число z записывается как z = x + yi, где x = Re(z) — действительная часть, y = Im(z) — мнимая часть, а i — мнимая единица, i^2 = −1. Сложение и вычитание производятся покомпонентно: (x1 + y1 i) ± (x2 + y2 i) = (x1 ± x2) + (y1 ± y2) i. Умножение: (x1 + y1 i)(x2 + y2 i) = (x1x2 − y1y2) + (x1y2 + x2y1)i. Для деления удобно использовать комплексно-сопряжённое число: z̄ = x − yi, поскольку z·z̄ = x^2 + y^2 = |z|^2 — квадрат модуля. Эти правила служат основой для решения большинства уравнений с комплексными числами.

Линейные уравнения вида a z + b = 0 (a ≠ 0). Здесь a и b могут быть комплексными. Решение точно такое же, как в действительных: z = −b / a. На практике важно корректно выполнить деление комплексных чисел: умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое знаменателя и приводим к виду x + yi. Пример: решить (2 − i) z + (1 + 3i) = 0. Тогда z = −(1 + 3i)/(2 − i). Домножаем на сопряжённое 2 + i и получаем z = −[(1 + 3i)(2 + i)]/(2^2 + 1^2) = −[(2 + i + 6i + 3i^2)]/5 = −[(2 + 7i − 3)]/5 = −[−1 + 7i]/5 = (1 − 7i)/5. Важно: всегда приводим ответ в форме x + yi.

Квадратные уравнения и методика решения. Квадратное уравнение a z^2 + b z + c = 0 с комплексными коэффициентами решается той же формулой: z = [−b ± sqrt(b^2 − 4ac)]/(2a). Разница в том, что выражение под корнем — дискриминант — может быть комплексным, и нам потребуется вычислить квадратный корень из комплекса. Два стандартных подхода: 1) попытаться представить дискриминант в виде u + vi и найти x + yi, которому в квадрате равно u + vi (решая систему для x и y); 2) перевести дискриминант в полярную форму r (cos φ + i sin φ) и применить извлечение корня через половину аргумента и корень из модуля. Пример: z^2 + 2z + 5 = 0 (коэффициенты действительные). Дискриминант D = 4 − 20 = −16. sqrt(D) = 4i или −4i, поэтому z = (−2 ± 4i)/2 = −1 ± 2i. Если бы коэффициенты были комплексными, порядок действий тот же, просто вычисления сложнее.

Полярная форма, модуль и аргумент — полезные инструменты. Любое ненулевое комплексное число z можно записать как z = r (cos φ + i sin φ), где r = |z| — модуль, φ = arg z — аргумент. Такое представление особенно удобно для умножения, деления и извлечения корней: при умножении модули перемножаются, а аргументы складываются. Теорема Муавра утверждает, что (r (cos φ + i sin φ))^n = r^n (cos nφ + i sin nφ). Это позволяет извлечь n-ый корень: все n корней числа r (cos φ + i sin φ) имеют модули r^{1/n} и аргументы (φ + 2πk)/n для k = 0, 1, ..., n−1 (полный набор корней). Пример: найдём кубические корни числа 1 + i. Сначала r = √2, φ = π/4. Значит корни: r^{1/3} (cos((π/4 + 2πk)/3) + i sin((π/4 + 2πk)/3)), k = 0,1,2. Конкретные значения можно вычислить численно или в тригонометрической форме.

Уравнения, включающие модуль и аргумент (геометрические уравнения). Часто встречаются уравнения типа |z − z0| = R — геометрически это окружность с центром z0 и радиусом R; |z| = const — окружность с центром в начале координат; Re(z) = a — вертикальная прямая x = a; Im(z) = b — горизонтальная прямая y = b; аргументное уравнение arg(z − z0) = α задаёт луч. Такие уравнения часто решают графически или приводят к алгебраической системе, подставляя z = x + yi и переходя к уравнениям для x и y. Пример: |z − (1 + i)| = 2 — это окружность центра (1,1) радиуса 2.

Решение уравнений со сопряжёнными и системами. Уравнения с комплексно-сопряжёнными выражениями, например z + z̄ = 2, легко решаются через представление z = x + yi: тогда z̄ = x − yi, и сумма равна 2x, значит x = 1 и y — произвольное число; множество решений — вертикальная прямая x = 1. Другой тип: z·z̄ = 1 означает |z|^2 = 1, т.е. все точки на окружности радиуса 1. При наличии систем, где одновременно задаются условия на модуль, аргумент и/или реальные и мнимые части, обычно выписывают систему для x и y и решают обычными алгебраическими методами. Всегда проверяйте, не вводите ли вы лишние корни при возврате из полярной формы (учёт аргумента modulo 2π).

Пользыные приёмы и типичные ошибки. Полезно запомнить:

• Для алгебраических уравнений первым шагом часто бывает приведение к форме x + yi и приравнивание действительных и мнимых частей — это основной инструмент.
• При делении используйте сопряжённое знаменателя, чтобы избавиться от i в знаменателе.
• Для извлечения корней применяйте полярную форму и теорему Муавра; это особенно удобно для корней большей кратности.
• Если уравнение задаётся с действительными коэффициентами, комплексные корни возникают парами сопряжённых чисел (теорема о сопряжённых корнях).

Типичные ошибки: забыть, что i^2 = −1 при раскрытии скобок; неправильно приравнять части при наличии коэффициентов с i; забыть учесть все значения аргумента при извлечении корней (k = 0,...,n−1).

Примеры для закрепления и пошаговая инструкция. Возьмём несколько конкретных задач и разберём их подробно:

1. Решить z + (2 − 3i) = 5 + i. Шаг 1: перенести известные в другую сторону: z = 5 + i − (2 − 3i) = (5 − 2) + (1 + 3)i = 3 + 4i. Ответ: z = 3 + 4i.
2. Решить (2 − i) z + (1 + 3i) = 0. Шаг 1: z = −(1 + 3i)/(2 − i). Шаг 2: домножаем на сопряжённое 2 + i: z = −(1 + 3i)(2 + i)/(5). Вычисляем: (2 + i + 6i + 3i^2) = (2 + 7i − 3) = (−1 + 7i). Получаем z = (1 − 7i)/5.
3. Решить z^2 + 2z + 5 = 0. Шаг 1: D = 4 − 20 = −16. Шаг 2: sqrt(D) = 4i. Шаг 3: z = (−2 ± 4i)/2 = −1 ± 2i.
4. Найти все кубические корни числа 1 + i. Шаг 1: r = √2, φ = π/4. Шаг 2: корни r^{1/3} (cos((π/4 + 2πk)/3) + i sin((π/4 + 2πk)/3)), k = 0,1,2. Это три различных комплексных числа, равноудалённых по аргументу.

Эти примеры демонстрируют, как последовательно применять базовые операции и методики.

Заключение и рекомендации для подготовки. Практика с комплексными числами дает хорошую интуицию: переводите выражения в алгебраическую форму, приравнивайте части, не бойтесь перехода в полярную форму для извлечения корней, внимательно работайте с аргументом и модулем. Полезно решать задачи разного типа: алгебраические уравнения, уравнения на модуль, системы с сопряжёнными. Регулярная тренировка в вычислениях снизит количество ошибок и повысит уверенность. Если вы освоите методы, описанные выше — приведение к x + yi, использование сопряжённого при делении, применение дискриминанта и полярной формы — то решение любых стандартных уравнений с комплексными числами станет прямым и понятным.