Давайте разберемся с задачами по геометрической прогрессии. В геометрической прогрессии каждый следующий член получается умножением предыдущего на общее отношение (q). Сумма первых n членов геометрической прогрессии определяется формулой:

S_n = b₁ * (1 - q^n) / (1 - q), если q ≠ 1

Где:

• S_n - сумма первых n членов прогрессии
• b₁ - первый член прогрессии
• q - общее отношение

Теперь решим каждую из задач по порядку.

1. Задача 1: если b₁ = 3, q = 5, найдите S₄.
   • Подставляем значения в формулу: S₄ = 3 * (1 - 5^4) / (1 - 5).
   • Сначала вычислим 5^4: 5 * 5 * 5 * 5 = 625.
   • Теперь подставим это значение: S₄ = 3 * (1 - 625) / (1 - 5) = 3 * (-624) / (-4).
   • Упрощаем: S₄ = 3 * 156 = 468.

   Ответ: S₄ = 468.

2. Задача 2: если b₂ = 8, b₃ = 4, найдите S₆.
   • Сначала найдем b₁ и q. Из b₂ и b₃ мы можем найти q:
   • q = b₃ / b₂ = 4 / 8 = 0.5.
   • Теперь найдем b₁: b₁ = b₂ / q = 8 / 0.5 = 16.
   • Теперь у нас есть b₁ = 16 и q = 0.5. Подставим в формулу для S₆:
   • S₆ = 16 * (1 - 0.5^6) / (1 - 0.5).
   • Вычисляем 0.5^6: 0.5 * 0.5 * 0.5 * 0.5 * 0.5 * 0.5 = 0.015625.
   • Теперь подставляем: S₆ = 16 * (1 - 0.015625) / 0.5 = 16 * 0.984375 / 0.5 = 16 * 1.96875 = 31.5.

   Ответ: S₆ = 31.5.

3. Задача 3: если b₁ = -2, b₆ = -486, найдите S₆.
   • Сначала найдем q. Мы знаем, что b₆ = b₁ * q^5.
   • Подставляем известные значения: -486 = -2 * q^5.
   • Делим обе стороны на -2: q^5 = 243.
   • Теперь находим q: q = 243^(1/5) = 3.
   • Теперь у нас есть b₁ = -2 и q = 3. Подставим в формулу для S₆:
   • S₆ = -2 * (1 - 3^6) / (1 - 3).
   • Вычисляем 3^6: 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 = 729.
   • Теперь подставляем: S₆ = -2 * (1 - 729) / (-2) = -2 * (-728) / (-2) = 728.

   Ответ: S₆ = 728.