18. Корни уравнения x^2 + px + q = 0 в два раза больше корней уравнения x^2 – 3x - 10 = 0.

Сначала найдем корни уравнения x^2 – 3x - 10 = 0. Для этого используем формулу корней квадратного уравнения:

• x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = -3, c = -10.

Подставим значения:

• Дискриминант D = (-3)² - 4 * 1 * (-10) = 9 + 40 = 49.
• Корни: x1 = (3 + √49) / 2 = (3 + 7) / 2 = 5 и x2 = (3 - √49) / 2 = (3 - 7) / 2 = -2.

Корни уравнения x^2 + px + q = 0 будут равны 2 * 5 = 10 и 2 * (-2) = -4.

Теперь, используя формулы для суммы и произведения корней, получаем:

• p = -(10 - 4) = -6.
• q = 10 * (-4) = -40.

Таким образом, p + q = -6 - 40 = -46.

19. Один из корней уравнения x^2 + 11x + q = 0 равен 12. Найдите второй корень уравнения.

Согласно свойству квадратного уравнения, сумма корней равна -b, а произведение корней равно c. Обозначим второй корень как x2.

• Сумма корней: 12 + x2 = -11, отсюда x2 = -11 - 12 = -23.

Таким образом, второй корень равен -23.

20. Составьте квадратное уравнение, корни которого противоположны корням уравнения 3x^2 + x - 4 = 0.

Сначала найдем корни уравнения 3x^2 + x - 4 = 0:

• a = 3, b = 1, c = -4.
• Дискриминант D = 1² - 4 * 3 * (-4) = 1 + 48 = 49.
• Корни: x1 = (-1 + √49) / (2 * 3) = 2 и x2 = (-1 - √49) / (2 * 3) = -2/3.

Корни противоположны: -2 и 2/3. Составим уравнение:

• Сумма = 0, произведение = -2 * (2/3) = -4/3.
• Уравнение: x^2 + 0x - 4/3 = 0, умножим на 3: 3x^2 - 4 = 0.

21. Найдите сумму корней уравнения (x^3 - 8) / (x - 2) = 9 - 2x.

Упростим уравнение:

• (x^3 - 8) = (x - 2)(9 - 2x).
• x^3 - 8 = -2x^2 + 13x - 18.
• x^3 + 2x^2 - 13x + 10 = 0.

Сумма корней уравнения равна -b/a = -2/1 = -2.

22. Один из корней уравнения x^2 - 13x + q = 0 равен -7. Найдите второй корень уравнения.

Обозначим второй корень как x2. Сумма корней равна 13, следовательно:

• -7 + x2 = 13, отсюда x2 = 13 + 7 = 20.

Таким образом, второй корень равен 20.

23. Один из корней уравнения x^2 + 11x + q = 0 равен -8. Найдите второй корень уравнения.

Обозначим второй корень как x2. Сумма корней равна -11:

• -8 + x2 = -11, отсюда x2 = -11 + 8 = -3.

Таким образом, второй корень равен -3.

24. Составьте приведенное квадратное уравнение, по данным корням x1 и x2:

1. x1 = 3, x2 = -1: уравнение x^2 - 2x - 3 = 0.
2. x1 = 2, x2 = 3: уравнение x^2 - 5x + 6 = 0.
3. x1 = -4, x2 = -5: уравнение x^2 + 9x + 20 = 0.
4. x1 = -3, x2 = 6: уравнение x^2 - 3x - 18 = 0.
5. x1 = 11, x2 = -1: уравнение x^2 - 10x - 11 = 0.
6. x1 = 2, x2 = -2: уравнение x^2 - 4 = 0.
7. x1 = 0, x2 = 4: уравнение x^2 - 4x = 0.
8. x1 = -1, x2 = 5: уравнение x^2 - 4x - 5 = 0.

25. Составьте квадратное уравнение с рациональными коэффициентами, один корень которого равен:

1. 1) 1 / (6 + √2): уравнение 6x - 1 - √2 = 0, умножим на (6 - √2): 6x(6 - √2) - 1 = 0, получаем 36x^2 - 12x + 1 = 0.
2. 2) 3 + (√2 / 2): уравнение 2x - 6 - √2 = 0, получаем 2x - 6 = √2, возведем в квадрат: 4x^2 - 24x + 36 = 2, получаем 4x^2 - 24x + 34 = 0.
3. 3) 3 + √2: уравнение x - 3 - √2 = 0, получаем x - 3 = √2, возведем в квадрат: x^2 - 6x + 9 = 2, получаем x^2 - 6x + 7 = 0.
4. 4) 4 - √7: уравнение x - 4 + √7 = 0, получаем x - 4 = -√7, возведем в квадрат: x^2 - 8x + 16 = 7, получаем x^2 - 8x + 9 = 0.