25. Составление квадратного уравнения с рациональными коэффициентами:

Когда один из корней квадратного уравнения является иррациональным, то для того, чтобы уравнение имело рациональные коэффициенты, необходимо, чтобы его сопряженный корень также входил в состав корней. Сопряженный корень получается путем изменения знака перед иррациональной частью.

Теперь разберем каждый из предложенных корней:

• Корень: 1/6 + √2

Сопряженный корень: 1/6 - √2

• Корень: 3 + √2/2

Сопряженный корень: 3 - √2/2

• Корень: 3 + √2

Сопряженный корень: 3 - √2

• Корень: 4 - √7

Сопряженный корень: 4 + √7

Теперь мы можем составить квадратные уравнения для каждого из этих пар корней, используя формулу:

Если корни уравнения x₁ и x₂, то квадратное уравнение можно записать как:

(x - x₁)(x - x₂) = 0

Рассмотрим каждый случай:

1. Для корней 1/6 + √2 и 1/6 - √2:

Уравнение: (x - (1/6 + √2))(x - (1/6 - √2)) = 0

Раскроем скобки: x² - 2*(1/6)x + (1/6)² - (√2)² = 0

Получаем: x² - (1/3)x - 3 = 0

2. Для корней 3 + √2/2 и 3 - √2/2:

Уравнение: (x - (3 + √2/2))(x - (3 - √2/2)) = 0

Раскроем скобки: x² - 2*3x + 3² - (√2/2)² = 0

Получаем: x² - 6x + (9 - 1/2) = 0

Упрощаем: x² - 6x + 17/2 = 0

3. Для корней 3 + √2 и 3 - √2:

Уравнение: (x - (3 + √2))(x - (3 - √2)) = 0

Раскроем скобки: x² - 2*3x + 3² - (√2)² = 0

Получаем: x² - 6x + 7 = 0

4. Для корней 4 - √7 и 4 + √7:

Уравнение: (x - (4 - √7))(x - (4 + √7)) = 0

Раскроем скобки: x² - 2*4x + 4² - (√7)² = 0

Получаем: x² - 8x + 9 = 0

26. Составление приведенного квадратного уравнения по данным корням x₁ и x₂:

Для составления квадратного уравнения по известным корням x₁ и x₂ используем ту же формулу:

(x - x₁)(x - x₂) = 0

Раскроем скобки:

x² - (x₁ + x₂)x + x₁ * x₂ = 0

Таким образом, приведенное квадратное уравнение будет иметь вид:

x² - Sx + P = 0

где S = x₁ + x₂ (сумма корней), а P = x₁ * x₂ (произведение корней).

Пример:

Если x₁ = 2 и x₂ = 3, то:

• S = 2 + 3 = 5
• P = 2 * 3 = 6

Тогда уравнение будет: x² - 5x + 6 = 0.