Чтобы найти производную функции y = ln( (√(1+x²) - 1) / (√(1+x²) + 1) ) в точке x₀ = 1, нам нужно будет использовать правило производной для логарифмической функции и правило производной для сложной функции.

Шаги решения:

1. Найдем производную функции y. Для этого воспользуемся правилом производной логарифма:
• Если y = ln(u), то dy/dx = (1/u) * du/dx, где u = (√(1+x²) - 1) / (√(1+x²) + 1).
2. Найдем u и его производную du/dx. Для этого воспользуемся правилом частного:
• u = (v - w) / (v + w), где v = √(1+x²) и w = 1.
• Найдем производные v и w:
• v = √(1+x²) ⇒ dv/dx = (1/2)(1+x²)^(-1/2) * (2x) = x / √(1+x²).
• w = 1 ⇒ dw/dx = 0.
• Теперь найдем du/dx:
• du/dx = [(v + w)(dv/dx) - (v - w)(du/dx)] / (v + w)².
• Подставляем значения:
• du/dx = [(√(1+x²) + 1)(x / √(1+x²)) - (√(1+x²) - 1)(0)] / (√(1+x²) + 1)² = (√(1+x²) + 1)(x / √(1+x²)) / (√(1+x²) + 1)².
• Это упрощается до x / [√(1+x²)(√(1+x²) + 1)].
3. Теперь подставим u и du/dx в формулу для производной y:
• dy/dx = (1/u) * du/dx = [(√(1+x²) + 1) / (√(1+x²) - 1)] * [x / (√(1+x²)(√(1+x²) + 1))].
• dy/dx = x / [(√(1+x²) - 1)√(1+x²)].
4. Теперь подставим x₀ = 1 в производную:
• dy/dx в x = 1: dy/dx = 1 / [(√(1+1²) - 1)√(1+1²)] = 1 / [(√2 - 1)√2].

Таким образом, производная функции y в точке x₀ = 1 равна 1 / [(√2 - 1)√2].