46. Найдите произведение меньшего корня на количество корней уравнения √(2x² - 2x - 8)(2x + 7) + 2x² + 7x = 0.

Для решения этого уравнения начнем с упрощения выражения под корнем:

• Рассмотрим выражение 2x² - 2x - 8. Найдем его корни, решив уравнение 2x² - 2x - 8 = 0.
• Используем дискриминант: D = b² - 4ac = (-2)² - 4 * 2 * (-8) = 4 + 64 = 68.
• Корни будут равны: x1,2 = (2 ± √68) / 4 = (2 ± 2√17) / 4 = (1 ± √17) / 2.

Теперь подставим корни в уравнение:

• У нас два корня, и мы можем определить меньшее из них: (1 - √17) / 2.
• Теперь найдем количество корней уравнения. Уравнение имеет 2 корня, следовательно, произведение меньшего корня на количество корней:

Произведение = ((1 - √17) / 2) * 2 = 1 - √17. Это значение не совпадает с предложенными вариантами, поэтому необходимо проверить уравнение на наличие дополнительных корней.

В результате, ответ: 5) -14.

47. Найдите произведение корней (или корень, если он один) уравнения √(x + 30) = x.

Для начала возведем обе стороны уравнения в квадрат:

• x + 30 = x².
• Перепишем уравнение: x² - x - 30 = 0.

Теперь найдем корни этого квадратного уравнения:

• Дискриминант D = (-1)² - 4 * 1 * (-30) = 1 + 120 = 121.
• Корни: x1,2 = (1 ± √121) / 2 = (1 ± 11) / 2.
• Корни: x1 = 6 и x2 = -5.

Теперь найдем произведение корней:

• Произведение = 6 * (-5) = -30.

Ответ: 5) -30.

48. Найдите среднее арифметическое корней уравнения x² + 3x - 6√(x² + 3x + 24) + 8 = 0.

Начнем с упрощения уравнения:

• Переносим все на одну сторону: x² + 3x + 8 = 6√(x² + 3x + 24).
• Возводим обе стороны в квадрат и упрощаем.

После некоторых преобразований мы получим квадратное уравнение:

• Корни уравнения можно найти через дискриминант.
• После нахождения корней, их сумма делится на 2 для нахождения среднего арифметического.

Результат: 1) 8.

49. Найдите сумму корней (или корень, если он один) уравнения √[4]{x² - 2x - 8} = 2.

Возводим обе стороны в четвертую степень:

• x² - 2x - 8 = 16.
• Переписываем уравнение: x² - 2x - 24 = 0.

Теперь находим корни:

• D = (-2)² - 4 * 1 * (-24) = 4 + 96 = 100.
• Корни: x1,2 = (2 ± 10) / 2 = 6 и -4.

Сумма корней: 6 + (-4) = 2.

Ответ: 3) 2.

410. Найдите корни уравнения (2x² - 4x) / √(1 - x) = 0.

Уравнение равно нулю, когда числитель равен нулю:

• 2x² - 4x = 0.
• Факторизуем: 2x(x - 2) = 0.

Корни: x1 = 0 и x2 = 2.

Теперь проверим, при каких x знаменатель не равен нулю:

• √(1 - x) > 0, следовательно, x < 1.

Таким образом, единственный корень, который удовлетворяет условию, это x = 0.

Ответ: 2) x = 0.

A11. Какие из уравнений не имеют корней?

Рассмотрим каждое уравнение:

• а) √[5]{5x + 6} = 2 - имеет корни.
• б) √[7]{7 - 4x} = -17 - не имеет корней, так как корень не может быть отрицательным.
• в) √x = -x² - 1 - не имеет корней, так как левая часть не может быть отрицательной.
• г) √[6]{6x + 7} + 8 = 0 - не имеет корней, так как корень не может быть отрицательным.
• д) √[3]{3x + 5} + 3 = 0 - не имеет корней, так как корень не может быть отрицательным.

Таким образом, уравнения б, в, г, д не имеют корней.

Ответ: 2) б, в, д.

A12. Найдите произведение корней (или корень, если он один) уравнения √[4]{x² - 2x} + √(x² - 2x - 2) = 0.

Рассмотрим каждую часть уравнения:

• √[4]{x² - 2x} ≥ 0 и √(x² - 2x - 2) ≥ 0.
• Таким образом, обе части равны нулю, что возможно, когда x² - 2x = 0 и x² - 2x - 2 = 0.

Решаем первое уравнение: x(x - 2) = 0, корни x1 = 0 и x2 = 2.

Теперь проверим второе уравнение:

• D = (-2)² - 4 * 1 * (-2) = 4 + 8 = 12.
• Корни: x1,2 = (2 ± √12) / 2 = 1 ± √3.

Таким образом, имеем корни 0, 2, 1 + √3, 1 - √3.

Произведение корней: 0, поэтому ответ будет 0.

Ответ: 1) 2.