Для доказательства указанных неравенств, мы рассмотрим каждое из них по отдельности.

1. Рассмотрим квадратный трёхчлен 4x² + 12x + 9. Для начала, мы можем попробовать представить его в виде полного квадрата.

2. Обратим внимание на коэффициенты. Мы видим, что 4x² можно записать как (2x)². Теперь попробуем упростить выражение:

4x² + 12x + 9 = (2x)² + 2*2x*3 + 3² = (2x + 3)².

3. Таким образом, мы можем переписать неравенство:

(2x + 3)² ≥ 0.

4. Поскольку квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, мы можем утверждать, что (2x + 3)² всегда больше или равно нулю для любого значения x.

5. Следовательно, неравенство 4x² + 12x + 9 ≥ 0 выполняется для любого x.

1. Рассмотрим квадратный трёхчлен -5x² + 8x - 5. Для начала, мы найдем его корни, чтобы определить, где он изменяет знак.

2. Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a, где a = -5, b = 8, c = -5.

3. Сначала находим дискриминант:

D = b² - 4ac = 8² - 4*(-5)*(-5) = 64 - 100 = -36.

4. Поскольку дискриминант отрицателен (D < 0), это означает, что уравнение -5x² + 8x - 5 не имеет действительных корней.

5. Теперь проанализируем знак функции. Поскольку коэффициент при x² отрицательный (-5), это означает, что парабола, соответствующая этому квадратному уравнению, направлена вниз.

6. Таким образом, значение -5x² + 8x - 5 всегда будет отрицательным для любого значения x.

7. Следовательно, неравенство -5x² + 8x - 5 < 0 выполняется для любого x.

В заключение, мы доказали оба неравенства:

• 4x² + 12x + 9 ≥ 0 для любого x;
• -5x² + 8x - 5 < 0 для любого x.