Как можно найти решение уравнения 4х⁴-6х³-38х²-12х+16=0, используя адекватный метод, без применения приложений, таких как photomath?

Алгебра 11 класс Решение уравнений решение уравнения алгебра 11 класс методы решения уравнений уравнение 4х⁴ адекватные методы без приложений photomath математические методы анализ уравнений нахождение корней Новый

Для решения уравнения 4x⁴ - 6x³ - 38x² - 12x + 16 = 0 можно использовать метод деления многочлена и теорему Виета. Давайте разберем шаги подробно.

Шаг 1: Попробуем найти рациональные корни

Сначала мы можем использовать теорему о рациональных корнях. Она гласит, что возможные рациональные корни уравнения имеют вид ±p/q, где p - делители свободного члена, а q - делители ведущего коэффициента.

• Свободный член: 16. Его делители: ±1, ±2, ±4, ±8, ±16.
• Ведущий коэффициент: 4. Его делители: ±1, ±2, ±4.

Таким образом, возможные рациональные корни: ±1, ±2, ±4, ±8, ±16, ±1/2, ±1/4.

Шаг 2: Проверим возможные корни

Теперь мы подставим эти значения в уравнение и проверим, при каком из них результат равен нулю.

• Подставим x = 1:

4(1)⁴ - 6(1)³ - 38(1)² - 12(1) + 16 = 4 - 6 - 38 - 12 + 16 = -36 (не корень)

• Подставим x = -1:

4(-1)⁴ - 6(-1)³ - 38(-1)² - 12(-1) + 16 = 4 + 6 - 38 + 12 + 16 = 0 (корень)

Мы нашли, что x = -1 является корнем уравнения.

Шаг 3: Деление многочлена

Теперь, зная, что x = -1 является корнем, мы можем выполнить деление многочлена 4x⁴ - 6x³ - 38x² - 12x + 16 на (x + 1) с помощью деления столбиком или синтетического деления.

После деления мы получим новый многочлен:

4x³ - 10x² - 48x + 16.

Шаг 4: Решение оставшегося кубического уравнения

Теперь нам нужно решить уравнение 4x³ - 10x² - 48x + 16 = 0. Мы можем снова попробовать найти рациональные корни с помощью теоремы о рациональных корнях.

• Возможные корни: ±1, ±2, ±4, ±8, ±16, ±1/2, ±1/4.

После проверки мы находим, что x = 2 также является корнем.

Шаг 5: Деление на (x - 2)

Теперь выполним деление 4x³ - 10x² - 48x + 16 на (x - 2). После деления мы получим:

4x² - 2x - 8.

Шаг 6: Решение квадратного уравнения

Теперь нам нужно решить квадратное уравнение 4x² - 2x - 8 = 0. Мы можем использовать дискриминант:

D = b² - 4ac = (-2)² - 4 * 4 * (-8) = 4 + 128 = 132.

Так как D > 0, у уравнения есть два различных корня:

x = (2 ± √132) / 8.

Шаг 7: Записываем все корни

Теперь мы можем записать все корни исходного уравнения:

• x = -1 (первый корень),
• x = 2 (второй корень),
• x = (2 + √132) / 8 и x = (2 - √132) / 8 (два корня из квадратного уравнения).

Таким образом, мы нашли все корни уравнения 4x⁴ - 6x³ - 38x² - 12x + 16 = 0.