Как можно решить уравнение log_2(3x-4) - log_2(5-x) = 3?

Алгебра 11 класс Логарифмические уравнения решение уравнения логарифмы алгебра 11 класс log_2 уравнение с логарифмами математические задачи Новый

Решим уравнение log_2(3x-4) - log_2(5-x) = 3 шаг за шагом.

Первым делом воспользуемся свойством логарифмов, которое гласит, что разность логарифмов равна логарифму отношения:

• log_a(b) - log_a(c) = log_a(b/c)

Применим это свойство к нашему уравнению:

log_2((3x-4)/(5-x)) = 3

Теперь мы можем избавиться от логарифма, преобразовав уравнение в экспоненциальную форму:

(3x - 4)/(5 - x) = 2^3

Поскольку 2^3 = 8, у нас получается:

(3x - 4)/(5 - x) = 8

Теперь умножим обе стороны уравнения на (5 - x), чтобы избавиться от дроби:

3x - 4 = 8(5 - x)

Раскроем скобки на правой стороне:

3x - 4 = 40 - 8x

Теперь соберем все x на одной стороне, а все числа на другой:

• 3x + 8x = 40 + 4
• 11x = 44

Теперь поделим обе стороны на 11:

x = 44 / 11

x = 4

Теперь нам нужно проверить, подходит ли найденное значение x = 4 для исходного уравнения. Подставим его обратно в логарифмы:

• 3x - 4 = 3(4) - 4 = 12 - 4 = 8 (это больше 0)
• 5 - x = 5 - 4 = 1 (это тоже больше 0)

Оба логарифма определены, следовательно, значение x = 4 является решением уравнения.

Ответ: x = 4