ПОМОГИТЕ, ПОЖАЛУЙСТА, РЕШИТЬ!!!

Как решить уравнение: log 100 (2cos^2x + 5cos(x + π/2) + 11) = 0,5?

Алгебра 11 класс Логарифмические уравнения алгебра 11 класс уравнение логарифм решение уравнения Тригонометрия cos cos^2 Логарифмическое уравнение математический анализ помощь с домашним заданием Новый

Давайте разберем уравнение: log 100 (2cos^2x + 5cos(x + π/2) + 11) = 0,5. Сначала вспомним, что логарифм с основанием 100 равен 0,5, если его аргумент равен 100 в степени 0,5. Это можно записать так:

Шаг 1: Преобразуем логарифмическое уравнение.

• log 100 (2cos^2x + 5cos(x + π/2) + 11) = 0,5 означает, что 2cos^2x + 5cos(x + π/2) + 11 = 100^(0,5).
• Поскольку 100^(0,5) = 10, у нас получается: 2cos^2x + 5cos(x + π/2) + 11 = 10.

Шаг 2: Упростим уравнение.

• Теперь упростим уравнение: 2cos^2x + 5cos(x + π/2) + 11 - 10 = 0.
• Это можно записать как: 2cos^2x + 5cos(x + π/2) + 1 = 0.

Шаг 3: Заменим cos(x + π/2).

• Мы знаем, что cos(x + π/2) = -sin(x), поэтому подставим это значение в уравнение.
• Теперь у нас есть: 2cos^2x - 5sinx + 1 = 0.

Шаг 4: Решим это уравнение.

• Для решения уравнения 2cos^2x - 5sinx + 1 = 0, воспользуемся соотношением sin^2x + cos^2x = 1.
• Заменим cos^2x на (1 - sin^2x): 2(1 - sin^2x) - 5sinx + 1 = 0.
• Упростим это уравнение: 2 - 2sin^2x - 5sinx + 1 = 0.
• Получим: -2sin^2x - 5sinx + 3 = 0.
• Умножим все на -1, чтобы избавиться от минуса: 2sin^2x + 5sinx - 3 = 0.

Шаг 5: Найдем корни квадратного уравнения.

• Теперь применим формулу решения квадратного уравнения: sinx = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a, где a = 2, b = 5, c = -3.
• Вычисляем дискриминант: D = b² - 4ac = 5² - 4 * 2 * (-3) = 25 + 24 = 49.
• Теперь находим корни: sinx = (-5 ± √49) / (2 * 2) = (-5 ± 7) / 4.

Шаг 6: Получаем два значения для sinx.

• Первый корень: sinx = (2) / 4 = 0,5.
• Второй корень: sinx = (-12) / 4 = -3, что не может быть, так как синус не может превышать 1 по абсолютной величине.

Шаг 7: Найдем x для первого корня.

• Если sinx = 0,5, то x = π/6 + 2kπ или x = 5π/6 + 2kπ, где k – любое целое число.

Таким образом, решение нашего уравнения:

x = π/6 + 2kπ и x = 5π/6 + 2kπ, где k – любое целое число.