Чтобы найти наибольший отрицательный корень уравнения sin² x - 5sin x * cos x + 2 = 0, сначала упростим уравнение. Мы можем использовать замену переменных, чтобы упростить выражение.

Обозначим sin x = y и cos x = √(1 - y²). Подставим это в уравнение:

sin² x = y², а cos x = √(1 - y²), тогда:

sin² x - 5sin x * cos x + 2 = 0 превращается в:

y² - 5y√(1 - y²) + 2 = 0.

Это уравнение является квадратным относительно y. Однако, чтобы решить его, нам нужно избавиться от корня. Для этого выразим корень:

5y√(1 - y²) = y² + 2.

Теперь возведем обе стороны в квадрат:

(5y)²(1 - y²) = (y² + 2)².

Раскроем скобки:

25y²(1 - y²) = y⁴ + 4y² + 4.

Упрощаем это уравнение:

25y² - 25y⁴ = y⁴ + 4y² + 4.

Соберем все члены в одну сторону:

25y² - 4y² - 4 - 25y⁴ - y⁴ = 0.

Это уравнение можно записать как:

-26y⁴ + 21y² - 4 = 0.

Перепишем его в стандартной форме:

26y⁴ - 21y² + 4 = 0.

Теперь сделаем замену z = y². Тогда уравнение становится:

26z² - 21z + 4 = 0.

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b² - 4ac = (-21)² - 4 * 26 * 4 = 441 - 416 = 25.

Теперь найдем корни уравнения по формуле:

z₁,₂ = (-b ± √D) / (2a) = (21 ± 5) / (52).

Находим корни:

• z₁ = (21 + 5) / 52 = 26 / 52 = 1/2.
• z₂ = (21 - 5) / 52 = 16 / 52 = 4/13.

Теперь вернемся к переменной y:

• y² = 1/2, тогда y = ±√(1/2) = ±1/√2.
• y² = 4/13, тогда y = ±√(4/13) = ±2/√13.

Теперь у нас есть значения sin x для y. Нам нужно найти соответствующие значения x, которые удовлетворяют уравнению. Поскольку мы ищем наибольший отрицательный корень, рассмотрим отрицательные значения: