Чтобы найти первообразную для данных функций, нужно использовать правила интегрирования. Давайте рассмотрим каждую из функций по отдельности.

Мы будем использовать правило интегрирования для степенной функции, которое гласит, что интеграл от x^n равен x^(n+1)/(n+1), где n ≠ -1.

1. Интегрируем 8x^3:
   • 8 * (x^(3+1))/(3+1) = 8 * x^4/4 = 2x^4
2. Интегрируем 3x^2:
   • 3 * (x^(2+1))/(2+1) = 3 * x^3/3 = x^3
3. Интегрируем 1:
   • x

Теперь объединяем все результаты:

F(x) = 2x^4 + x^3 + x + C, где C - произвольная константа.

Здесь мы также используем основные правила интегрирования:

1. Интегрируем 1:
   • x
2. Интегрируем -sin(4x):
   • -(-1/4)cos(4x) = (1/4)cos(4x)

Таким образом, получаем:

F(x) = x + (1/4)cos(4x) + C.

Здесь мы применим метод подстановки. Обозначим u = 4x - 5, тогда du/dx = 4, или dx = du/4.

Теперь интегрируем:

1. Интеграл от u^6:
   • (u^(6+1))/(6+1) = u^7/7 = (4x - 5)^7/7

Не забываем умножить на 1/4 (из dx = du/4):

F(x) = (1/4) * ((4x - 5)^7/7) + C = (4x - 5)^7/28 + C.

Здесь также используем метод подстановки. Обозначим u = 3x + 2, тогда du/dx = 3, или dx = du/3.

Интегрируем:

1. Интеграл от u^(-2):
   • (u^(-2 + 1))/(-2 + 1) = u^(-1)/(-1) = -1/u = -1/(3x + 2)

Не забываем умножить на 1/3:

F(x) = -1/(3(3x + 2)) + C = -1/(9x + 6) + C.

Теперь мы имеем первообразные для всех заданных функций:

• F(x) = 2x^4 + x^3 + x + C
• F(x) = x + (1/4)cos(4x) + C
• F(x) = (4x - 5)^7/28 + C
• F(x) = -1/(9x + 6) + C