Чтобы найти производную функции y = x * arctg^{(1 - cos x)/2} * e^{(x/3)} + sin(x^2), нам нужно использовать правила дифференцирования, такие как правило произведения и правило цепочки. Давайте разберем это шаг за шагом.

1. Разделим функцию на две части:
   • Первая часть: y1 = x * arctg^{(1 - cos x)/2} * e^{(x/3)}
   • Вторая часть: y2 = sin(x^2)
2. Найдем производную первой части y1:
   • Используем правило произведения: если u = x, v = arctg^{(1 - cos x)/2}, w = e^{(x/3)}, то y1 = u * v * w.
   • Производная произведения трех функций вычисляется по формуле: (u * v * w)' = u' * v * w + u * v' * w + u * v * w'.
   • Теперь найдем производные каждой из функций:
   1. u' = 1
   2. v' = (1/(1 + ((1 - cos x)/2)^2)) * (1/2) * sin x (по правилу цепочки и производной арктангенса)
   3. w' = (1/3) * e^{(x/3)} (по правилу производной экспоненты)
   • Теперь подставим все в формулу для производной произведения:
   • y1' = 1 * v * w + u * v' * w + u * v * w'.
3. Теперь найдем производную второй части y2:
   • Производная y2 = sin(x^2) вычисляется по правилу цепочки: y2' = cos(x^2) * (2x).
4. Сложим обе производные:
   • Общая производная функции y = y1 + y2 будет равна: y' = y1' + y2'.

Таким образом, мы нашли производную функции. Не забудьте подставить все найденные значения для v, v' и w' в окончательную формулу для y1'.