Чтобы найти производную сложной функции, такой как ctg^15(x), и производную отношения (x^2 - 5x + 6) / (x + 1), мы будем использовать правила дифференцирования. Давайте разберём каждый случай по порядку.

1. Производная функции ctg^15(x):

Для нахождения производной функции ctg^15(x) мы применим правило дифференцирования сложной функции, а именно правило цепочки. Сначала обозначим u = ctg(x), тогда наша функция может быть записана как u^15.

1. Найдём производную u^15 по u:
• Используем правило степени: d(u^n)/du = n * u^(n-1).
• Таким образом, d(u^15)/du = 15 * u^14 = 15 * ctg^14(x).
2. Теперь найдём производную u = ctg(x):
• Известно, что d(ctg(x))/dx = -csc^2(x).
3. Теперь применим правило цепочки:
• d(ctg^15(x))/dx = d(u^15)/du * d(u)/dx = 15 * ctg^14(x) * (-csc^2(x)).
4. Итак, окончательная производная будет:
• d(ctg^15(x))/dx = -15 * ctg^14(x) * csc^2(x).

2. Производная отношения (x^2 - 5x + 6) / (x + 1):

Для нахождения производной дроби мы используем правило дифференцирования частного. Если у нас есть функция в виде f(x) = g(x) / h(x), то производная этой функции вычисляется по формуле:

f'(x) = (g'(x) * h(x) - g(x) * h'(x)) / (h(x))^2.

В нашем случае:

• g(x) = x^2 - 5x + 6
• h(x) = x + 1

1. Сначала найдём производные g'(x) и h'(x):
• g'(x) = 2x - 5
• h'(x) = 1
2. Теперь подставим в формулу для производной:
• f'(x) = ((2x - 5)(x + 1) - (x^2 - 5x + 6)(1)) / (x + 1)^2.
3. Упростим числитель:
• (2x - 5)(x + 1) = 2x^2 + 2x - 5x - 5 = 2x^2 - 3x - 5.
• (x^2 - 5x + 6)(1) = x^2 - 5x + 6.
• Теперь подставим в числитель:
• 2x^2 - 3x - 5 - (x^2 - 5x + 6) = 2x^2 - 3x - 5 - x^2 + 5x - 6 = x^2 + 2x - 11.
4. Таким образом, окончательная производная будет:
• f'(x) = (x^2 + 2x - 11) / (x + 1)^2.

Теперь у вас есть подробные шаги по нахождению производных обеих функций. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!