Как найти решение уравнения log2 (2x-1) + log2 (3x-2) = 0?

Алгебра 11 класс Логарифмические уравнения решение уравнения логарифмы алгебра 11 класс log2 уравнение log2 методы решения логарифмических уравнений Новый

Чтобы решить уравнение log2 (2x-1) + log2 (3x-2) = 0, следуем следующим шагам:

1. Используем свойства логарифмов. Мы знаем, что сумма логарифмов равна логарифму произведения. Поэтому можем переписать уравнение так:

log2 ((2x-1)(3x-2)) = 0

2. Переводим логарифмическое уравнение в экспоненциальную форму. Если log2(A) = 0, то A = 2^0 = 1. Таким образом, мы можем записать:

(2x-1)(3x-2) = 1

3. Раскрываем скобки и приводим уравнение к стандартному виду. Умножим выражения в левой части:

(2x - 1)(3x - 2) = 6x^2 - 4x - 3x + 2 = 6x^2 - 7x + 2

Теперь у нас есть уравнение:

6x^2 - 7x + 2 = 1

4. Переносим 1 в левую часть уравнения:

6x^2 - 7x + 1 = 0

5. Решаем квадратное уравнение. Используем дискриминант:

D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 * 6 * 1 = 49 - 24 = 25

6. Находим корни уравнения: Используем формулу корней квадратного уравнения:

x1,2 = (-b ± √D) / (2a)

Подставляем значения:

x1 = (7 + 5) / 12 = 1

x2 = (7 - 5) / 12 = 1/6

7. Проверяем допустимость корней. Поскольку логарифм определен только для положительных аргументов, проверим, подходят ли найденные значения x:
• Для x = 1: 2(1) - 1 = 1 > 0 и 3(1) - 2 = 1 > 0. Значит, x = 1 допустим.
• Для x = 1/6: 2(1/6) - 1 = -2/6 < 0. Значит, x = 1/6 не допустим.
8. Записываем окончательное решение: Единственным допустимым корнем уравнения является x = 1.

Таким образом, решение уравнения log2 (2x-1) + log2 (3x-2) = 0 — это x = 1.