Как решить неравенство: x^-4/3 - x^-2/3 - 8 = 0?

Алгебра 11 класс Неравенства и их решения решение неравенств алгебра 11 класс математические задачи неравенства метод решения неравенств алгебраические выражения Новый

Для решения неравенства x^(-4/3) - x^(-2/3) - 8 = 0, начнем с преобразования его в более удобную форму. Мы можем сделать замену переменной. Пусть:

y = x^(-2/3)

Тогда x^(-4/3) можно выразить через y:

x^(-4/3) = y^2

Теперь подставим y в исходное уравнение:

y^2 - y - 8 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение. Для его решения воспользуемся формулой корней квадратного уравнения:

y = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

В нашем случае a = 1, b = -1, c = -8. Подставим эти значения в формулу:

• b² - 4ac = (-1)² - 4 * 1 * (-8) = 1 + 32 = 33

Теперь подставим это значение в формулу для y:

• y = (1 ± √33) / 2

Таким образом, мы получаем два корня:

• y1 = (1 + √33) / 2
• y2 = (1 - √33) / 2

Теперь нам нужно найти, какие из этих значений соответствуют действительным x. Так как y = x^(-2/3), y должно быть положительным, так как x не может быть равным нулю или отрицательным (в противном случае y не будет определено).

Теперь проверим, какое значение y является положительным:

• y1 = (1 + √33) / 2 > 0 (положительное)
• y2 = (1 - √33) / 2 < 0 (отрицательное)

Таким образом, оставляем только y1. Теперь найдем значение x:

x^(-2/3) = (1 + √33) / 2

Теперь преобразуем это уравнение:

x^(2/3) = 2 / (1 + √33)

Теперь возведем обе стороны в степень 3/2:

x = (2 / (1 + √33))^(3/2)

Теперь мы нашли значение x. Но не забываем, что мы решали уравнение, а не неравенство. Чтобы решить неравенство, нужно рассмотреть знак функции:

f(x) = x^(-4/3) - x^(-2/3) - 8

Мы должны определить, где эта функция больше нуля. Для этого можно исследовать функцию на интервалах, которые определяются найденными корнями.

Таким образом, в итоге мы получаем, что решением неравенства будет:

x > (2 / (1 + √33))^(3/2)

Это и есть ответ на ваше неравенство.