Давайте разберем каждое из предложенных уравнений по порядку.

Сначала преобразуем правую часть уравнения:

• 1 можно записать как log₂(2).
• Тогда уравнение можно переписать как: log₂(x + 1) = log₂(2) + log₂(x – 1).
• По свойству логарифмов: log₂(a) + log₂(b) = log₂(a * b). Таким образом, мы получаем: log₂(x + 1) = log₂(2(x - 1)).

Теперь, поскольку логарифмы равны, их аргументы тоже равны:

• x + 1 = 2(x - 1).
• Решая это уравнение, получаем: x + 1 = 2x - 2.
• Переносим все на одну сторону: 1 + 2 = 2x - x.
• Получаем: x = 3.

Проверяем: log₂(4) = 1 + log₂(2) верно, значит x = 3.

Преобразуем правую часть:

• 2 log₂ 3 = log₂(3²) = log₂(9).
• Теперь уравнение: log₂(x - 4) + log₂(2x - 1) = log₂(9).

Складываем логарифмы:

• log₂((x - 4)(2x - 1)) = log₂(9).

Теперь приравниваем аргументы:

• (x - 4)(2x - 1) = 9.
• Раскроем скобки: 2x² - x - 8 = 9.
• Переносим 9: 2x² - x - 17 = 0.

Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

• D = (-1)² - 4 * 2 * (-17) = 1 + 136 = 137.
• x = (1 ± sqrt(137)) / 4.

Проверяем, чтобы аргументы логарифмов были положительными.

Преобразуем уравнение:

• log₂((6x + 2)/(x² + 4x + 1)) = 1.

Приравниваем аргументы:

• (6x + 2)/(x² + 4x + 1) = 2.
• 6x + 2 = 2(x² + 4x + 1).
• 6x + 2 = 2x² + 8x + 2.
• 0 = 2x² + 8x + 2 - 6x - 2.
• 0 = 2x² + 2x.
• x(2x + 2) = 0.

Решения: x = 0 или x = -1. Проверяем, чтобы аргументы логарифмов были положительными.

Преобразуем правую часть:

• 1 + 2 log₃ 2 = log₃(3) + log₃(4) = log₃(12).

Объединяем логарифмы:

• log₃((3 - x)(4 - x)) = log₃(12).

Приравниваем аргументы:

• (3 - x)(4 - x) = 12.
• 12 - 7x + x² = 12.
• x² - 7x = 0.
• x(x - 7) = 0.

Решения: x = 0 или x = 7. Проверяем аргументы.

Преобразуем правую часть:

• 1 = log₃(3).

Объединяем логарифмы:

• log₃((2x - 1)(2x - 3)) = log₃(3).

Приравниваем аргументы:

• (2x - 1)(2x - 3) = 3.
• 4x² - 8x + 3 = 3.
• 4x² - 8x = 0.
• 4x(x - 2) = 0.

Решения: x = 0 или x = 2. Проверяем аргументы.

Преобразуем правую часть:

• 2 = log₂(4).

Объединяем логарифмы:

• log₂((x + 1)(x - 2)) = log₂(2x - 5) + log₂(4).
• log₂((x + 1)(x - 2)) = log₂(4(2x - 5)).

Приравниваем аргументы:

• (x + 1)(x - 2) = 4(2x - 5).

Решаем уравнение:

• x² - x - 10 = 0.

Находим корни и проверяем аргументы.

Преобразуем правую часть:

• log₁₀₀(2x - 3) = log₁₀(2x - 3) / log₁₀(100) = log₁₀(2x - 3) / 2.

Переписываем уравнение:

• lg(x + 6) - 2 = 0.5 * lg(2x - 3) - 2 lg(5).

Умножаем обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби:

• 2lg(x + 6) - 4 = lg(2x - 3) - 4lg(5).

Теперь приравниваем аргументы:

• 2(x + 6)² = 2x - 3 / 5^4.

Решаем уравнение и проверяем аргументы.

Каждое из уравнений требует проверки на допустимость значений, чтобы аргументы логарифмов были положительными. Убедитесь, что найденные корни соответствуют этому условию.