Как решить уравнение: log11 (√2 sin x) - log 121 (cos x + 2) = 0?

Алгебра 11 класс Логарифмические уравнения решение уравнения алгебра 11 класс логарифмы тригонометрические функции задачи по алгебре Новый

Для решения уравнения log11 (√2 sin x) - log 121 (cos x + 2) = 0 необходимо выполнить несколько шагов, используя свойства логарифмов и основы алгебры.

Шаг 1: Преобразование логарифмов.

• Первое, что мы можем сделать, это преобразовать логарифм с основанием 121 в логарифм с основанием 11. Это возможно, так как 121 = 11^2. Используя свойство логарифмов, мы можем записать:
• log 121 (cos x + 2) = log11 (cos x + 2) / log11 (121).
• Так как log11 (121) = 2, у нас получается:
• log 121 (cos x + 2) = log11 (cos x + 2) / 2.

Шаг 2: Подстановка в уравнение.

• Теперь подставим это выражение в исходное уравнение:
• log11 (√2 sin x) - (log11 (cos x + 2) / 2) = 0.

Шаг 3: Упрощение уравнения.

• Умножим всё уравнение на 2, чтобы избавиться от дроби:
• 2 * log11 (√2 sin x) - log11 (cos x + 2) = 0.
• Это можно переписать как:
• 2 * log11 (√2 sin x) = log11 (cos x + 2).

Шаг 4: Использование свойств логарифмов.

• Согласно свойствам логарифмов, 2 * log11 (a) = log11 (a^2). Таким образом, мы можем переписать уравнение:
• log11 ((√2 sin x)^2) = log11 (cos x + 2).
• Упрощая, получаем:
• log11 (2 sin^2 x) = log11 (cos x + 2).

Шаг 5: Удаление логарифмов.

• Так как логарифмы равны, мы можем приравнять их аргументы:
• 2 sin^2 x = cos x + 2.

Шаг 6: Преобразование уравнения.

• Теперь мы можем привести все члены уравнения к одной стороне:
• 2 sin^2 x - cos x - 2 = 0.

Шаг 7: Замена тригонометрических функций.

• Используем основное тригонометрическое тождество: sin^2 x = 1 - cos^2 x. Подставим это в уравнение:
• 2(1 - cos^2 x) - cos x - 2 = 0.
• Упрощая, получаем:
• -2cos^2 x - cos x = 0.
• Факторизуем:
• cos x (2cos x + 1) = 0.

Шаг 8: Решение полученного уравнения.

• Теперь мы можем решить полученное уравнение:
• cos x = 0 или 2cos x + 1 = 0.
• Решение первого уравнения:
• x = π/2 + kπ, где k - целое число.
• Решение второго уравнения:
• cos x = -1/2 дает x = 2π/3 + 2kπ и x = 4π/3 + 2kπ.

Шаг 9: Итоговые решения.

• Таким образом, окончательные решения уравнения:
• x = π/2 + kπ, x = 2π/3 + 2kπ, x = 4π/3 + 2kπ, где k - целое число.