Как решить уравнение sinx*(2sinx-3ctgx)=3?

Алгебра 11 класс Уравнения тригонометрических функций решение уравнения алгебра sinx ctgx тригонометрические функции математические задачи уравнения с синусом алгебраические уравнения Новый

Давайте разберем, как решить уравнение sin(x) * (2sin(x) - 3ctg(x)) = 3. Для начала, вспомним, что ctg(x) - это обратная функция к tan(x), то есть ctg(x) = cos(x) / sin(x). Это поможет нам преобразовать уравнение.

Теперь перепишем уравнение, подставив выражение для ctg(x):

sin(x) * (2sin(x) - 3(cos(x) / sin(x))) = 3

Умножим обе части уравнения на sin(x), чтобы избавиться от дроби. Однако, помните, что sin(x) ≠ 0, иначе мы не сможем делить на него:

sin^2(x) * (2 - 3(cos(x) / sin^2(x))) = 3

Теперь упростим уравнение:

2sin^2(x) - 3cos(x) = 3

Теперь перенесем 3 влево:

2sin^2(x) - 3cos(x) - 3 = 0

Теперь мы можем использовать тригонометрические идентичности. Напомним, что sin^2(x) + cos^2(x) = 1. Это значит, что sin^2(x) = 1 - cos^2(x). Подставим это в уравнение:

2(1 - cos^2(x)) - 3cos(x) - 3 = 0

Упростим это уравнение:

2 - 2cos^2(x) - 3cos(x) - 3 = 0

-2cos^2(x) - 3cos(x) - 1 = 0

Теперь умножим все уравнение на -1, чтобы избавиться от отрицательных коэффициентов:

2cos^2(x) + 3cos(x) + 1 = 0

Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно cos(x). Мы можем использовать формулу для решения квадратного уравнения:

ax^2 + bx + c = 0, где a = 2, b = 3, c = 1.

Дискриминант D равен:

D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 * 2 * 1 = 9 - 8 = 1

Так как дискриминант положительный, у нас есть два различных корня:

cos(x) = (-b ± √D) / (2a)

Подставим значения:

cos(x) = (-3 ± √1) / (2 * 2)

Это дает нам два решения:

• cos(x) = (-3 + 1) / 4 = -2 / 4 = -1/2
• cos(x) = (-3 - 1) / 4 = -4 / 4 = -1

Теперь найдем значения x, соответствующие этим значениям cos(x).

1. Для cos(x) = -1/2: это значение достигается при x = 2π/3 + 2kπ и x = 4π/3 + 2kπ, где k - любое целое число.

2. Для cos(x) = -1: это значение достигается при x = π + 2kπ, где k - любое целое число.

Таким образом, мы нашли все решения уравнения sin(x) * (2sin(x) - 3ctg(x)) = 3.