Чтобы построить график функции y = x^2 + 6x + 4 и описать ее свойства, мы можем использовать метод преобразования квадратичной функции в каноническую форму. Давайте пройдем по шагам.

Каноническая форма квадратичной функции выглядит как:

y = a(x - h)^2 + k

где (h, k) - координаты вершины параболы.

Для преобразования функции y = x^2 + 6x + 4 мы можем использовать метод выделения полного квадрата:

1. Сначала выделим квадрат для выражения x^2 + 6x. Для этого найдем половину коэффициента при x (это 6) и возведем ее в квадрат. Половина от 6 равна 3, а 3^2 = 9.
2. Теперь мы можем переписать функцию, добавив и вычитая 9:
3. y = (x^2 + 6x + 9) - 9 + 4
4. Это можно упростить до:
5. y = (x + 3)^2 - 5

Теперь у нас есть функция в канонической форме y = (x + 3)^2 - 5, где:

• h = -3
• k = -5

Теперь, когда мы нашли каноническую форму, мы можем описать свойства функции:

• Вершина параболы: Координаты вершины (h, k) = (-3, -5).
• Открытие параболы: Парабола открывается вверх, так как коэффициент при (x + 3)^2 положителен (a = 1 > 0).
• Ось симметрии: Ось симметрии проходит через вертикальную линию x = -3.
• Значение функции: Минимальное значение функции достигается в вершине и равно -5. Это значит, что y не может быть меньше -5.
• Пересечение с осью y: Чтобы найти пересечение с осью y, подставим x = 0 в исходное уравнение:
• y = 0^2 + 6*0 + 4 = 4. Пересечение с осью y: (0, 4).
• Пересечение с осью x: Для нахождения пересечений с осью x решим уравнение y = 0:
• 0 = x^2 + 6x + 4. Используем дискриминант D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4*1*4 = 36 - 16 = 20. Поскольку D > 0, у нас два корня.
• Корни можно найти по формуле: x = (-b ± √D) / (2a). Подставляем: x = (-6 ± √20) / 2 = -3 ± √5. Таким образом, пересечения с осью x: (-3 - √5, 0) и (-3 + √5, 0).

Теперь, зная все свойства функции, мы можем построить график:

• Наносим точку вершины (-3, -5).
• Наносим точки пересечения с осью y (0, 4) и осью x (-3 - √5, 0) и (-3 + √5, 0).
• Проводим ось симметрии x = -3.
• Строим параболу, открывающуюся вверх, проходящую через найденные точки.

Таким образом, мы построили график функции y = x^2 + 6x + 4 и описали ее основные свойства. Если у вас есть вопросы, не стесняйтесь задавать!