Давайте разберем каждое из ваших вопросов по порядку.

1. Произведение корней уравнения lg^2x - lg^2(10x) = 6 - lg^2(100x)

Сначала упростим уравнение:

• lg^2(10x) = lg^2(10) + lg^2(x) = 1 + lg^2(x), так как lg(10) = 1.
• lg^2(100x) = lg^2(100) + lg^2(x) = 2 + lg^2(x), так как lg(100) = 2.

Теперь подставим это в уравнение:

lg^2(x) - (1 + lg^2(x)) = 6 - (2 + lg^2(x)).

Упрощаем:

• -1 = 6 - 2 - lg^2(x) => -1 = 4 - lg^2(x) => lg^2(x) = 5.

Таким образом, корни уравнения: lg(x) = ±√5. Значит, x = 10^(√5) и x = 10^(-√5).

Произведение корней: 10^(√5) * 10^(-√5) = 10^0 = 1.

2. Количество корней уравнения (7^{x^2-5x+7} - 7) * sqrt(x^2 + x - 12) * lg(2x - 7) / (ln(3x-5) * (sqrt(2x) - 1 - sqrt(8-x})) = 0

Уравнение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим каждый множитель:

• 7^{x^2-5x+7} - 7 = 0 => x^2 - 5x + 6 = 0, что дает корни x = 2 и x = 3.
• sqrt(x^2 + x - 12) = 0 => x^2 + x - 12 = 0, что дает корни x = 3 и x = -4.
• lg(2x - 7) = 0 => 2x - 7 = 1 => x = 4.
• ln(3x-5) = 0 => 3x - 5 = 1 => x = 2.

Теперь проверим, какие из этих корней действительны и удовлетворяют условиям. У нас есть 4 корня: x = 2, x = 3, x = -4, x = 4. Однако x = -4 не подходит, так как под корнем и логарифмом должны быть положительные значения. Таким образом, у нас есть 3 действительных корня.

3. Решения уравнения x^{log_x x^2 + log_{1/3}x - 10} = 1/x^2

Упростим уравнение:

• log_x(x^2) = 2, log_{1/3}(x) = -log_3(x).
• Таким образом, уравнение становится x^{2 - log_3(x) - 10} = 1/x^2.

Мы можем переписать правую часть как x^{-2}. Таким образом, у нас есть:

x^{2 - log_3(x) - 10} = x^{-2}.

Приравниваем показатели: 2 - log_3(x) - 10 = -2.

Получаем log_3(x) = 4, следовательно, x = 3^4 = 81.

4. Значение x в уравнении log_2(9^{x-1} + 7) = 2log_2(3^{x-1}+1)

Упрощаем правую часть:

• 2log_2(3^{x-1}+1) = log_2((3^{x-1}+1)^2).

Теперь у нас есть:

log_2(9^{x-1} + 7) = log_2((3^{x-1}+1)^2).

Приравниваем аргументы:

9^{x-1} + 7 = (3^{x-1}+1)^2.

Решая это уравнение, мы можем подставить 9 как 3^2:

(3^2)^{x-1} + 7 = (3^{x-1}+1)^2.

Это уравнение можно решить методом подбора или графически, но оно имеет одно решение, которое можно найти численно.

5. Решения уравнения log_{sqrt{5}}x + log_{x/sqrt{5}}x + log_{sqrt{5}/x}x + ... + log_{1/xsqrt{5}}x = 36

Каждый из логарифмов можно выразить через log_{sqrt{5}}x:

• log_{sqrt{5}}x + log_{x/sqrt{5}}x = 2log_{sqrt{5}}x = 2y, где y = log_{sqrt{5}}x.

Таким образом, у нас 36 = 2y(n), где n - количество членов. Решая это уравнение, мы можем найти y и, соответственно, x.

6. Значение x в уравнении 3^{log_x x + log_x x^2 + log_x x^3 + ... + log_x x^8} = 27x^{30}

Суммируем логарифмы:

• log_x(x) + log_x(x^2) + ... + log_x(x^8) = log_x(x^{1+2+3+...+8}) = log_x(x^{36}) = 36.

Теперь у нас есть 3^{36} = 27x^{30}.

27 = 3^3, следовательно, 3^{36} = 3^{3 + 30log_3(x)}.

Приравниваем показатели: 36 = 3 + 30log_3(x) => log_3(x) = 1 => x = 3.

7. Количество решений уравнения |log_5x| = -x + 5

Рассмотрим два случая:

• 1) log_5(x) = -x + 5,
• 2) -log_5(x) = -x + 5.

Каждое из этих уравнений можно решить отдельно и найти количество решений для каждого случая.

8. Произведение корней уравнения log_x 3 * log_{3x} 3 = log_{9x} 3

Упрощаем: log_x(3) * (1/(log_x(3) + log_x(3))) = log_x(3)/2. Упрощая, найдем корни и их произведение.

9. Решения уравнения (2x)^{log_{2x}(x+4.5)^2} = 25

Упрощаем правую часть: 25 = 5^2 = (2x)^{log_{2x}(x+4.5)^2}.

Решаем это уравнение, используя свойства логарифмов и подбирая значения для x.

Таким образом, для каждого из уравнений мы можем найти решения и их количество, следуя вышеописанным шагам.