Чтобы найти значение производной функции y=f(x) в заданных точках x0, мы будем использовать определение производной и правила дифференцирования. Давайте разберем каждый случай по очереди.

Для начала найдем производную функции f(x). Используем правило дифференцирования дроби:

• f'(x) = (0 * cos x - 1 * (-sin x)) / (cos^2 x) = sin x / cos^2 x = tan x * sec x.

Теперь подставим x0 = 0:

• f'(0) = tan(0) * sec(0) = 0 * 1 = 0.

Ответ: f'(0) = 0.

Здесь мы применим правило произведения:

• f'(x) = (2x + 3) ln x + (x^2 + 3x) * (1/x).

Упрощаем производную:

• f'(x) = (2x + 3) ln x + (x + 3).

Теперь подставим x0 = 1:

• f'(1) = (2*1 + 3) * ln(1) + (1 + 3) = (5 * 0) + 4 = 4.

Ответ: f'(1) = 4.

Для этой функции воспользуемся правилом деления:

• f'(x) = (1/(1 + x^2) * (1 + x^2) - arctan x * 2x) / (1 + x^2)^2.

Упрощаем:

• f'(x) = (1 - 2x * arctan x) / (1 + x^2)^2.

Теперь подставим x0 = 1:

• f'(1) = (1 - 2*1*arctan(1)) / (1 + 1^2)^2 = (1 - 2*(π/4)) / 4 = (1 - π/2) / 4.

Ответ: f'(1) = (1 - π/2) / 4.

Здесь также используем правило произведения:

• f'(x) = e^x(x - ln 2) + e^x * 1 = e^x(x - ln 2 + 1).

Теперь подставим x0 = ln 2:

• f'(ln 2) = e^(ln 2)(ln 2 - ln 2 + 1) = 2 * 1 = 2.

Ответ: f'(ln 2) = 2.

Итак, мы нашли значения производных в указанных точках:

• f'(0) = 0;
• f'(1) = 4;
• f'(1) = (1 - π/2) / 4;
• f'(ln 2) = 2.