Чтобы решить уравнение 1 - sin(19x) = (cos(17x/2) - sin(17x/2))^2, начнем с упрощения правой части уравнения.

Сначала заметим, что (cos(17x/2) - sin(17x/2))^2 можно раскрыть:

• (cos(17x/2) - sin(17x/2))^2 = cos^2(17x/2) - 2cos(17x/2)sin(17x/2) + sin^2(17x/2).
• Мы знаем, что cos^2(a) + sin^2(a) = 1, поэтому:
• cos^2(17x/2) + sin^2(17x/2) = 1.
• Таким образом, у нас получится: (cos(17x/2) - sin(17x/2))^2 = 1 - 2cos(17x/2)sin(17x/2).

Теперь подставим это выражение обратно в уравнение:

1 - sin(19x) = 1 - 2cos(17x/2)sin(17x/2).

Упростим уравнение, вычитая 1 с обеих сторон:

- sin(19x) = - 2cos(17x/2)sin(17x/2).

Умножим обе стороны на -1:

sin(19x) = 2cos(17x/2)sin(17x/2).

Теперь применим формулу двойного угла для синуса:

2cos(a)sin(a) = sin(2a), тогда:

sin(19x) = sin(17x).

Теперь у нас есть два случая, когда синусы равны:

1. 19x = 17x + 360k, где k - любое целое число.
2. 19x = 180 - 17x + 360k.

Решим первый случай:

19x - 17x = 360k

2x = 360k

x = 180k.

Теперь решим второй случай:

19x + 17x = 180 + 360k

36x = 180 + 360k

x = 5 + 10k.

Теперь найдем наименьший корень на промежутке (-360°, 45°].

• Для x = 180k: при k = -2 получаем x = -360, что входит в промежуток.
• Для k = -1 получаем x = -180, что также входит в промежуток.
• Для k = 0 получаем x = 0, что входит в промежуток.
• Для k = 1 получаем x = 180, что выходит за пределы.

Теперь рассмотрим второй случай:

• Для k = -2: x = 5 - 20 = -15, что входит в промежуток.
• Для k = -1: x = 5 - 10 = -5, что также входит в промежуток.
• Для k = 0: x = 5, что входит в промежуток.
• Для k = 1: x = 15, что входит в промежуток.

Теперь сравним все полученные корни:

• x = -360
• x = -180
• x = -15
• x = -5
• x = 0
• x = 5
• x = 15

Наименьший корень на промежутке (-360°, 45°] - это x = -360.

Ответ: -360.